题目 设集合\[A_{2n}=\{1,2,3,\cdots,2n\} \left(n\in \mathbb{N}^{*},n\geqslant 2\right).\]如果对于 $A_{2n}$ 的每一个含有 $m (m\geqslant 4)$ 个元素的子集 $P$，$P$ 中必有 $4$ 个元素的和等于 $4n+1$，则称正整数 $m$ 为集合 $A_{2n}$ 的一个“相关数”． 问题1 当 $n=3$ 时，判断 $5$ 和 $6$ 是否为集合 $A_6$ 的“相关数”，说明理由； 答案1 $5$ 不是集合 $A_6$ 的“相关数”；$6$ 是集合 $A_6$ 的“相关数” 解析1 当 $n=3$ 时，$A_6=\{1,2,3,4,5,6\}$，$4n+1=13$．一方面，对于 $A_6$ 的含有 $5$ 个元素的子集 $\{2,3,4,5,6\}$，因为 $2+3+4+5>13$，所以 $5$ 不是集合 $A_6$ 的“相关数”；另一方面，$A_6$ 的含有 $6$ 个元素的子集只有 $\{1,2,3,4,5,6\}$，因为 $1+3+4+5=13$，所以 $6$ 是集合 $A_6$ 的“相关数”． 备注1 问题2 若 $m$ 为集合 $A_{2n}$ 的“相关数”，证明：$m-n-3\geqslant 0$； 答案2 略 解析2 考察集合 $A_{2n}$ 的 $n+2$ 元子集 $B=\{n-1,n,n+1,\cdots,2n\}$，$B$ 中任意 $4$ 个元素之和一定不小于\[(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,\]所以若 $m$ 为集合 $A_{2n}$ 的“相关数”，必有 $m-n-3\geqslant 0$． 备注2 问题3 给定正整数 $n$，求集合 $A_{2n}$ 的“相关数”$m$ 的最小值． 答案3 $n+3$ 解析3 由第 $(2)$ 小题的结果得 $m \geqslant n+3$．<br/>先将集合 $A_{2n}$ 的元素分成如下 $n$ 组：\[<br/>C_i=\{i,2n+1-i\}, i=1,2,\cdots,n.<br/>\]对于 $A_{2n}$ 的任意一个 $n+3$ 元子集 $P$，一定存在互异的三个正整数 $i_1,i_2,i_3\in\{1,2,\cdots,n\}$，使得\[<br/>C_{i_1}\subseteq P, C_{i_2}\subseteq P, C_{i_3}\subseteq P.<br/>\]再将集合 $A_{2n}$ 的元素剔除 $n$ 和 $2n$ 之后，分成如下 $n-1$ 组：\[<br/>D_j=\{j,2n-j\}, j=1,2,\cdots,n-1.<br/>\]对于 $A_{2n}$ 的任意一个 $n+3$ 元子集 $P$，一定存在正整数 $j_4\in\{1,2,\cdots,n-1\}$，使得\[<br/>D_{j_4}\subseteq P,<br/>\]而且 $D_{j_4}$ 与 $C_{i_1},C_{i_2},C_{i_3}$ 中至少一组无公共元素，不妨设 $D_{j_4}$ 与 $C_{i_1}$ 无公共元素，<br/>此时，\[<br/>i_1+\left(2n+1-i_1\right)+j_4+\left(2n-j_4\right)=4n+1.<br/>\]所以集合 $A_{2n}$ 的“相关数”$m$ 的最小值为 $n+3$． 备注3 每日一题[938]集合的“相关数”．