已知集合 $A_n=\left\{\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\left| x_i\in\{-1,1\} (i=1,2,\cdots,n)\right.\right\}$，${\overrightarrow x},{\overrightarrow y}\in A_n$，${\overrightarrow x}=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)$，${\overrightarrow y}=\left(y_1,y_2,\cdots,y_n\right)$，其中 $x_i,y_i\in\{-1,1\} (i=1,2,\cdots,n)$．定义 ${\overrightarrow x}\cdot {\overrightarrow y}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$．若 ${\overrightarrow x}\cdot{\overrightarrow y}=0$，则称 ${\overrightarrow x}$ 与 ${\overrightarrow y}$ 正交．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 ${\overrightarrow x}=(1,1,1,1)$，写出 $A_4$ 中与 ${\overrightarrow x}$ 正交的所有元素；标注答案$(1,1,-1,-1), (-1,-1,1,1), (1,-1,1,-1), (-1,1,-1,1), (1,-1,-1,1), (-1,1,1,-1)$解析$A_4$ 中与 ${\overrightarrow x}$ 正交的所有元素为\[(1,1,-1,-1), (-1,-1,1,1), (1,-1,1,-1), (-1,1,-1,1), (1,-1,-1,1), (-1,1,1,-1).\]
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令 $B=\left\{{\overrightarrow x}\cdot{\overrightarrow y}\left| {\overrightarrow x},{\overrightarrow y}\in A_n\right.\right\}$．若 $m\in B$，证明：$m+n$ 为偶数；标注答案略解析任取 ${\overrightarrow x},{\overrightarrow y}\in A_n$，设 ${\overrightarrow x}$ 与 ${\overrightarrow y}$ 有 $t$ 个分量完全相同，则 ${\overrightarrow x}$ 与 ${\overrightarrow y}$ 有 $n-t$ 个分量完全相反，其中 $t\in\mathbb{N}$．故\[m+n=t-(n-t)+n=2t\]为偶数．
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若 $A\subseteq A_n$，且 $A$ 中任意两个元素均正交，分别求出 $n=8,14$ 时，$A$ 中最多可以有多少个元素．标注答案当 $n=8$ 时，$A$ 中最多有 $8$ 个元素；当 $n=14$ 时，最多有 $2$ 个元素解析当 $n=8$ 时，设 $A_8$ 的子集 $A$ 中有 $k$ 个两两正交的元素\[\begin{split}
{\overrightarrow x}_1&=\left(x_{11},x_{12},\cdots,x_{18}\right),\\{\overrightarrow x}_2&=\left(x_{21},x_{22},\cdots,x_{28}\right),\\&\vdots\\{\overrightarrow x}_k&=\left(x_{k1},x_{k2},\cdots,x_{k8}\right),\end{split}\]将这 $k$ 个元素的分量排成一个 $k$ 行 $8$ 列的数表\[ \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{18}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{28}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_{k1}&x_{k2}&\cdots&x_{k8}\end{pmatrix}.\]我们先给出 $8$ 个元素两两正交的构造：\[\begin{split}{\overrightarrow x}_1&=(+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1),\\{\overrightarrow x}_2&=(+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1),\\
{\overrightarrow x}_3&=(+1,+1,-1,-1,+1,+1,-1,-1),\\{\overrightarrow x}_4&=(+1,-1,-1,+1,+1,-1,-1,+1),\\{\overrightarrow x}_5&=(+1,+1,+1,+1,-1,-1,-1,-1),\\
{\overrightarrow x}_6&=(+1,-1,+1,-1,-1,+1,-1,+1),\\{\overrightarrow x}_7&=(+1,+1,-1,-1,-1,-1,+1,+1),\\{\overrightarrow x}_8&=(+1,-1,-1,+1,-1,+1,+1,-1).\end{split}\]下面我们来证明 $k \leqslant 8$．若 $k\geqslant 9$，那么将这些向量排成一个矩阵\[\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & x_{18} \\x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & x_{25} & x_{26} & x_{27} & x_{28} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\x_{81} & x_{82} & x_{83} & x_{84} & x_{85} & x_{86} & x_{87} & x_{88} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\x_{k1} & x_{k2} & x_{k3} & x_{k4} & x_{k5} & x_{k6} & x_{k7} & x_{k8} \\\end{pmatrix}\]从第 $1$ 列中选择一个不为 $0$ 的数，将其所在的行与第 $1$ 行交换，并乘以 $1$ 或 $-1$ 使其第 $1$ 位是 $1$，然后利用第 $1$ 行与其他行依次相加或相减，使其他行的第 $1$ 位均变为 $0$；然后在得到的矩阵中从第 $2$ 列中选择一个不为 $0$ 的数，将其所在的行与第 $2$ 行交换，并乘以 $1$ 或 $-1$ 使其第 $2$ 位是 $1$，然后利用第 $2$ 行与其他行依次相加或相减，使其他行的第 $2$ 位均变为 $0$；依次进行下去（如果某一列全是 $0$，就跳过该列去处理下一列），每次操作都让对应的列中只出现一个 $1$，由于该矩阵只有 $8$ 列，因此至多进行 $8$ 次操作，就可以使得从第 $9$ 行开始的向量为零向量．这样我们可以得到下面的结论，在 $k$ 个向量中，必然存在\[{\overrightarrow x_9}=\lambda_1{\overrightarrow x_1}+\lambda_2{\overrightarrow x_2}\cdots +\lambda_8{\overrightarrow x_8},\]其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_8$ 均为实数．于是就有\[{\overrightarrow x_9}\cdot {\overrightarrow x_9}=\left(\lambda_1{\overrightarrow x_1}+\lambda_2{\overrightarrow x_2}\cdots +\lambda_8{\overrightarrow x_8}\right)\cdot {\overrightarrow x_9}=0,\]矛盾．这样就证明了 $k\leqslant 8$．
综上所述，当 $n=8$ 时，$A_8$ 的子集 $A$ 中最多有 $8$ 个两两正交的元素．
当 $n=14$ 时，设 $A_{14}$ 的子集 $A$ 中有 $k$ 个两两正交的元素．
一方面，取\[\begin{split}{\overrightarrow x}_1&=(+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1),\\{\overrightarrow x}_2&=(+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),\end{split}\]则 ${\overrightarrow x}_1$ 与 ${\overrightarrow x}_2$ 正交．
另一方面，若 $k \geqslant 3$，考虑一般的情形，设 ${\overrightarrow x}_1$ 与 ${\overrightarrow x}_2$ 相比较，有 $a$ 个对应分量二者都取 $+1$；有 $b$ 个对应分量二者都取 $-1$；有 $c$ 个对应分量 ${\overrightarrow x}_1$ 取 $+1$，${\overrightarrow x}_2$ 取 $-1$；有 $d$ 个对应分量 ${\overrightarrow x}_1$ 取 $-1$，${\overrightarrow x}_2$ 取 $+1$，则\[a+b=c+d=7,\]故 ${\overrightarrow x}_1$ 有 $a+c$ 个分量取 $+1$，${\overrightarrow x}_2$ 有 $a+d$ 个分量取 $+1$，因为\[(a+c)+(a+d)=2a+7\]是奇数，所以 ${\overrightarrow x}_1$ 与 ${\overrightarrow x}_2$ 中取 $+1$ 的分量个数一奇一偶．此时再考虑 ${\overrightarrow x}_3$ 中取 $+1$ 的分量个数，矛盾．
综上所述，当 $n=14$ 时，$A_{14}$ 的子集 $A$ 中最多有 $2$ 个两两正交的元素．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
