题目 证明以下命题： 问题1 对任意正整数 $a$，都存在正整数 $b,c(b<c)$，使得 $a^2,b^2,c^2$ 成等差数列； 答案1 略 解析1 考虑不定方程 $x^2+z^2=2y^2$，其中 $x,y,z$ 均为整数，即$$(x+y)(x-y)=(y+z)(y-z),$$于是可设（这是一种比较简单的特殊情形）$$\begin{cases} x+y=\dfrac pq\cdot (y+z),\\ x-y=\dfrac qp\cdot (y-z),\end{cases}$$其中 $p,q$ 均为整数，则解得$$\begin{cases} x=p^2+2pq-q^2,\\ y=p^2+q^2,\\ z=p^2-2pq-q^2,\end{cases}$$这样就得到了整数解 $(x,y,z)$．<br/>取 $q=1$，$p=2$，则得到解 $(7,5,1)$，于是 $(a,5a,7a)$ 也是方程的解，因此原命题得证． 备注1 问题2 存在无穷多个互不相似的三角形 $\triangle_n$，其边长 $a_n,b_n,c_n$ 为正整数，且 $a_n^2,b_n^2,c_n^2$ 成等差数列． 答案2 略 解析2 不妨设 $q=1$，则 $x>y>z$，当 $y+z>x$，即 $p^2-4p+1>0$，也即 $p\geqslant 4$ 时，$x,y,z$ 是某个三角形的三边长，于是取 $p=n+3$，则$$\begin{cases} a_n=n^2+8n+14,\\ b_n=n^2+6n+10,\\ c_n=n^2+4n+2.\end{cases}$$由于$$2b_n-a_n-c_n=4$$为常数，而 $a_n,b_n,c_n$ 均随着 $n$ 的增大而增大，因此它们构成的三角形 $\triangle_n$ 互不相似，符合题意．因此原命题得证． 备注2 由于 $\left(\dfrac{a+c}2\right)^2+\left(\dfrac{a-c}2\right)^2=b^2$，而我们熟知勾股数的通解$$p^2+q^2,p^2-q^2,2pq,$$于是解方程即得．<br/>每日一题[141]论证与构造．