给定正整数 $n$，已知用克数都是正整数的 $k$ 块砝码和一台天平，可以称出质量为 $1,2,3,\cdots,n$ 克的所有物品．求 $k$ 的最小值 $f(n)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$k$ 的最小值 $f(n)=m$，其中 $\dfrac{3^{m-1}-1}{2}<n \leqslant\dfrac{3^m-1}{2}$，$m\in \mathbb{N}^{*}$
【解析】
设这 $k$ 块砝码的质量数分别为 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，且\[1\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots\leqslant a_k, a_i\in\mathbb{Z},i=1,2,\cdots,k.\]因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为\[
\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_ia_i,
\]其中 $ x_i\in\{-1,0,1\} $，$ i=1,2,\cdots,k $．若利用这 $ k $ 块砝码可以称出质量为 $ 1,2,3,\cdots,n $ 的物品，则上述表示式中含有 $ 1,2,3,\cdots,n $，由对称性易知也含有 $ 0,-1,-2,\cdots,-n $，即\[
\left\{0,\pm 1,\pm 2,\cdots,\pm n\right\}\subseteq
\left\{\left.\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_ia_i \right|x_i\in\{-1,0,1\}, i=1,2,\cdots,k\right\}.
\]所以\[
2n+1\leqslant \left|\left\{0,\pm 1,\pm 2,\cdots,\pm n\right\}\right|\leqslant
\left|\left\{\left.\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_ia_i \right|x_i\in\{-1,0,1\}, i=1,2,\cdots,k\right\}\right|\leqslant 3^k,
\]即\[n \leqslant \dfrac{3^k-1}{2}.\]设\[\dfrac{3^{m-1}-1}{2}<n \leqslant\dfrac{3^m-1}{2},\]其中 $ m\in \mathbb{N}^{*} $，则 $ k \geqslant m $．
当 $ k=m $ 时，取\[
a_1=1,a_2=3,\cdots,a_m=3^{m-1},
\]由数的三进制表示可知，对任意 $ p\in \left\{0,1,2,\cdots,3^m-1\right\} $，都有\[p=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}y_i3^{i-1},\]其中 $ y_i\in\{0,1,2\} $，因此\[
p-\dfrac{3^{m-1}-1}{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}y_i3^{i-1}-\displaystyle\sum_{i=1}^{m}3^{i-1}
=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\left(y_i-1\right)3^{i-1}.
\]令 $ x_i=y_i-1 $，则 $ x_i\in\{-1,0,1\} $，$ i=1,2,\cdots,m $．故对任意整数 $ l\in\left[-\dfrac{3^m-1}{2},\dfrac{3^m-1}{2}\right] $，都有\[
l=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_i3^{i-1},
\]其中 $ x_i\in\{-1,0,1\} $，$ i=1,2,\cdots,m $．
由于 $ n \leqslant \dfrac{3^m-1}{2} $，因此，对一切正整数 $ l\in[-n,n] $，也有上述表示．
综上所述，$ k $ 的最小值 $ f(n)=m $，其中 $ \dfrac{3^{m-1}-1}{2}<n \leqslant\dfrac{3^m-1}{2} $，$ m\in \mathbb{N}^{*}$．
\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_ia_i,
\]其中 $ x_i\in\{-1,0,1\} $，$ i=1,2,\cdots,k $．若利用这 $ k $ 块砝码可以称出质量为 $ 1,2,3,\cdots,n $ 的物品，则上述表示式中含有 $ 1,2,3,\cdots,n $，由对称性易知也含有 $ 0,-1,-2,\cdots,-n $，即\[
\left\{0,\pm 1,\pm 2,\cdots,\pm n\right\}\subseteq
\left\{\left.\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_ia_i \right|x_i\in\{-1,0,1\}, i=1,2,\cdots,k\right\}.
\]所以\[
2n+1\leqslant \left|\left\{0,\pm 1,\pm 2,\cdots,\pm n\right\}\right|\leqslant
\left|\left\{\left.\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_ia_i \right|x_i\in\{-1,0,1\}, i=1,2,\cdots,k\right\}\right|\leqslant 3^k,
\]即\[n \leqslant \dfrac{3^k-1}{2}.\]设\[\dfrac{3^{m-1}-1}{2}<n \leqslant\dfrac{3^m-1}{2},\]其中 $ m\in \mathbb{N}^{*} $，则 $ k \geqslant m $．
当 $ k=m $ 时，取\[
a_1=1,a_2=3,\cdots,a_m=3^{m-1},
\]由数的三进制表示可知，对任意 $ p\in \left\{0,1,2,\cdots,3^m-1\right\} $，都有\[p=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}y_i3^{i-1},\]其中 $ y_i\in\{0,1,2\} $，因此\[
p-\dfrac{3^{m-1}-1}{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}y_i3^{i-1}-\displaystyle\sum_{i=1}^{m}3^{i-1}
=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\left(y_i-1\right)3^{i-1}.
\]令 $ x_i=y_i-1 $，则 $ x_i\in\{-1,0,1\} $，$ i=1,2,\cdots,m $．故对任意整数 $ l\in\left[-\dfrac{3^m-1}{2},\dfrac{3^m-1}{2}\right] $，都有\[
l=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_i3^{i-1},
\]其中 $ x_i\in\{-1,0,1\} $，$ i=1,2,\cdots,m $．
由于 $ n \leqslant \dfrac{3^m-1}{2} $，因此，对一切正整数 $ l\in[-n,n] $，也有上述表示．
综上所述，$ k $ 的最小值 $ f(n)=m $，其中 $ \dfrac{3^{m-1}-1}{2}<n \leqslant\dfrac{3^m-1}{2} $，$ m\in \mathbb{N}^{*}$．
答案
解析
备注
