题目 对于 $n$ 维向量 $A=\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)$，若对任意 $i\in\{1,2,\cdots,n\}$ 均有 $a_i=0$ 或 $a_i=1$，则称 $A$ 为 $n$ 维 $T$ 向量．对于两个 $n$ 维 $T$ 向量 $A,B$，定义 $d(A,B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|a_i-b_i\right|$． 问题1 若 $A=(1,0,1,0,1)$，$B=(0,1,1,1,0)$，求 $d(A,B)$ 的值； 答案1 $4$ 解析1 略 备注1 问题2 现有一个 $5$ 维 $T$ 向量序列：$A_1,A_2,A_3,\cdots$，若 $A_1=(1,1,1,1,1)$，且对任意正整数 $i$，均有 $d\left(A_i,A_{i+1}\right)=2$，求证：该序列中不存在 $5$ 维 $T$ 向量序列 $(0,0,0,0,0)$； 答案2 略 解析2 用反证法，若存在符合题意的序列且 $A_{k+1}=(0,0,0,0,0)$，$k\in\mathbb N^*$．设向量 $A_1$ 的每个分量变化的次数分别为\[2k_1+1,2k_2+1,2k_3+1,2k_4+1,2k_5+1,\]其中 $k_1,k_2,k_3,k_4,k_5\in\mathbb N$．这样就有\[2k=\left(2k_1+1\right)+\left(2k_2+1\right)+\left(2k_3+1\right)+\left(2k_4+1\right)+\left(2k_5+1\right),\]左边为偶数，右边为奇数，矛盾．因此原命题得证． 备注2 问题3 现有一个 $12$ 维 $T$ 向量序列：$A_1,A_2,A_3,\cdots$，若 $A_1=(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{12 \text{个}})$，$A_j=(\underbrace{0,0,\cdots,0}_{12 \text{个}})$，$j\in \mathbb{N}^{*}$，且存在正整数 $m$，使得对任意正整数 $i$，均有 $d\left(A_i,A_{i+1}\right)=m$，求出所有可能的 $m$． 答案3 所有可能的 $m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$ 解析3 <sol>引理1</sol>对 $n$ 维 $T$ 向量序列，$m$ 取 $n$ 的正约数时符合题意．<br/><sol>引理2</sol>对 $n$ 维 $T$ 向量序列，当 $n$ 为偶数时，$m=n-1$ 符合题意；当 $n$ 为奇数时，$m=n-2$ 符合题意．<br/><sol>引理3</sol>对 $n$ 维 $T$ 向量序列，当 $n$ 为偶数时，$m=2$ 符合题意，进一步当 $m\leqslant n-2$ 也符合题意．<br/><sol>引理4</sol>对 $n$ 维 $T$ 向量序列，当 $n$ 为奇数时，那么 $m$ 必然为奇数．<br/><sol>引理2的证明</sol>当 $n$ 为偶数时，第 $i$ 次操作除 $i$ 分量外的其它所有分量，经过 $n$ 次操作后，每个分量被操作了 $n-1$ 次，恰好都发生改变；<br/>当 $n$ 是奇数时，第 $i$ 次操作除 $i,i+1$ 分量外的其它所有分量（其中第 $n$ 次操作除第 $n,1$ 分量外的所有分量），经过 $n$ 次操作后，每个分量被操作了 $n-2$ 次，恰好都发生改变．<br/><sol>引理3的证明</sol>两次操作除了想要变换的两个分量之外都操作相同的分量（即每次操作一个想变换的分量加上 $m-1$ 个相同分量），这样两次操作就相当于一次 $m=2$ 的操作．<br/>根据以上引理，显然所有可能的 $m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$． 备注3 每日一题[977]翻杯子．