各项均为非负整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 同时满足下列条件：
① $a_1=m$，其中 $m\in \mathbb{N}^{*}$；
② 当正整数 $n \geqslant 2$ 时，恒有 $a_n \leqslant n-1$；
③ 对任意正整数 $n$，均有 $n$ 是 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ 的因数．
① $a_1=m$，其中 $m\in \mathbb{N}^{*}$；
② 当正整数 $n \geqslant 2$ 时，恒有 $a_n \leqslant n-1$；
③ 对任意正整数 $n$，均有 $n$ 是 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ 的因数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $m=5$ 时，写出数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前五项；标注答案$5,1,0,2,2$解析当 $m=5$ 时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前五项为 $5,1,0,2,2$．
-
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前三项互不相等，且正整数 $n \geqslant 3$ 时，$a_n$ 为常数，求 $m$ 的值；标注答案$m=2,3,4$解析因为 $a_2\leqslant 1$，所以 $a_2=0,1$；$a_3\leqslant 2$，所以 $a_3=0,1,2$；
而前三项互不相等，所以数列可能为\[\begin{split} &m, 0, 1, 1,\cdots;\\&m, 0, 2, 2,\cdots;\\&m, 1, 0, 0,\cdots;\\&m, 1, 2, 2,\cdots.\end{split}\]由 $S_n$ 是 $n$ 的倍数知，第三种不可能，求得 $m=2,3,4$． -
求证：对任意正整数 $m$，都存在正整数 $M$，只要正整数 $n \geqslant M$，均有 $a_n$ 为常数．标注答案略解析首先可以证明，对任意 $k\in \mathbb N^*$，均有 $\dfrac{S_{k+1}}{k+1}<\dfrac{S_k}{k}+1$：
这是因为$$S_{k+1}-S_k=a_{k+1}\leqslant k,$$所以\[\begin{split} \dfrac {S_{k+1}}{k+1}-\dfrac {S_k}k\leqslant &\dfrac {S_k+k}{k+1}-\dfrac {S_k}k\\=&\dfrac {k^2-S_k}{k(k+1)}<1.\end{split} \]又因为 $\dfrac {S_k}k$ 是整数，所以$$\dfrac{S_{k+1}}{k+1}\leqslant \dfrac{S_k}{k},$$从而有\[
m=\dfrac{S_1}{1}\geqslant\dfrac{S_2}{2}\geqslant\dfrac{S_3}{3}\geqslant\cdots,
\]因此存在正整数 $M$，只要正整数 $n \geqslant M$，均有\[
\dfrac{S_{n}}{n}=\dfrac{S_{n+1}}{n+1}=\dfrac{S_{n+2}}{n+2}=\cdots=t\in\mathbb{N}^{*},
\]故\begin{align*}
S_n&=tn,\\
S_{n+1}&=t(n+1),\\
S_{n+2}&=t(n+2),\\
&\vdots
\end{align*}进而有\[
a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots=t.
\]证毕．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
