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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26336 592e2d3eeab1df000825729a 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 是正整数，对每一个满足 $0\leqslant a_i\leqslant n(i=1,2,\cdots,n)$ 的整数数列 $A=\{a_0,a_1,\cdots,a_n\}$，定义变换 $T$：数列 $T(A)=\{0,T(a_1),T(a_2),\cdots,T(a_n)\}$，其中 $T(a_i)$ 为数列 $A$ 中位于 $a_i$ 之前的与 $a_i$ 不相等的项的个数（$i=1,2,\cdots,n$），令 $A_{k+1}=T(A_k)(k=0,1,2,\cdots)$． 2022-04-17 20:02:54
26334 592e2e6feab1df000958441b 高中 解答题 高中习题 若数列 $\{a_n\}$ 满足：“对任意正整数 $n$，都有 $\dfrac{a_{n+2}+a_n}{2}\leqslant a_{n+1}$ 成立”，则称 $\{a_n\}$ 为 $T$ 数列． 2022-04-17 20:00:54
26326 592e32a2eab1df00082572aa 高中 解答题 高中习题 已知集合 $P$． 2022-04-17 20:55:53
26325 592e3305eab1df00082572ad 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 为正整数，$S_n=\{(a_1,a_2,\cdots,a_{2^n})\mid a_i\in\{0,1\},1\leqslant i\leqslant 2^n\}$，对 $S_n$ 中任意两个元素 $a=(a_1,a_2,\cdots,a_{2^n})$ 和 $b=(b_1,b_2,\cdots,b_{2^n})$，令 $\displaystyle d(a,b)=\sum\limits_{i=1}^{2^n}{|a_i-b_i|}$．若 $A\subseteq S_n$，满足对 $A$ 中任何两个不同的元素 $a$ 和 $b$，都有 $d(a,b)\geqslant 2^{n-1}$，则称 $A$ 为 $S_n$ 的好子集． 2022-04-17 20:54:53
26297 596446d4e6a2e7000d504781 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $P=\{x\mid x=7^{3}+a\times 7^{2}+b\times 7+c,a,b,c\leqslant 6,a,b,c\in\mathbb Z\}$．$x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}$ 为集合 $P$ 中构成等差数列的 $n$ 个元素．求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:39:53
26295 59672e0c030398000978b36f 高中 解答题 自招竞赛 一个由空间中的点组成的集合 $S$ 满足性质：$S$ 中任意两点之间的距离互不相同．假设 $S$ 中的点的坐标 $(x,y,z)$ 都是整数，并且 $1\leqslant x,y,z\leqslant n$，证明：集合 $S$ 的元素个数小于 $\min\left\{(n+2)\sqrt{\dfrac n3},n\sqrt 6\right\}$． 2022-04-17 20:38:53
26235 5964330fcbc472000a68b572 高中 解答题 自招竞赛 若整数 $a,b$ 既不互质，又不存在整除关系，则称 $a,b$ 是一个“联盟”数对．设 $A$ 是集合 $M=\{1,2,\cdots,2014\}$ 的 $n$ 元子集，且 $A$ 中任两数皆是“联盟”数对，求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:07:53
26234 596ecf08dbbeff000aeab73f 高中 解答题 自招竞赛 对于 $2n$ 个素数组成的集合 $M=\{p_1,p_2,\cdots,p_{2n}\}$，将其元素两两搭配成 $n$ 个乘积，得到一个 $n$ 元集，如果 $A=\{a_1a_2,a_3a_4,\cdots,a_{2n-1}a_{2n}\}$ 与 $B=\{b_1b_2,b_3b_4,\cdots,b_{2n-1}b_{2n}\}$ 是由此得到的两个 $n$ 元集，其中 $\{a_1,a_2,\cdots,a_{2n}\}=\{b_1,b_2,\cdots,b_{2n}\}=M$，且 $A \cap B=\varnothing$，就称集合对 $\{A,B\}$ 是由 $M$ 炮制成的一幅“对联”．（例如当 $n=2$ 时，由四元集 $\{a,b,c,d\}$ 可以炮制成三幅“对联”：$\{ab,cd\}\sim \{ac,bd\}$，$\{ab,cd\}\sim \{ad,bc\}$，$\{ac,bd\}\sim \{ad,bc\}$）．
当 $n=3$ 时，求 $6$ 元素数集 $M=\{a,b,c,d,e,f\}$ 所能炮制成的“对联”数．		 2022-04-17 20:06:53
25983 597ea61fd05b90000addb3a6 高中 解答题 高中习题 有 $10$ 个同学，每天都有 $5$ 个人一起相约去看电影，他们都喜新厌旧，任意 $2$ 个人最多一起看两场电影（比如第一天 $5$ 个人中有韩梅梅和李雷，第二天里也有韩梅梅和李雷，那么之后韩梅梅和李雷就再也不会一起看电影了），$10$ 个同学总共最多可以看几场电影呢？ 2022-04-17 20:55:50
25982 597ea2f3d05b90000addb38d 高中 解答题 高中习题 有 $n$ 支队伍参加单循环比赛，若某三支队伍 $A,B,C$ 出现 $A$ 击败 $B$，$B$ 击败 $C$，$C$ 击败 $A$，则称三支队伍 $A,B,C$ 构成一个“循环小组”． 2022-04-17 20:55:50
25978 597ea108d05b90000c805842 高中 解答题 高中习题 在一个 $n\times 6$（$n\geqslant 2$）的矩形方格表的 $6n$ 个单位小方格中，将每一个单位小方格都填上 $0$ 或 $1$ 两种数字之一．如果有某种填法，使得表中不存在一个矩形方格表，它的四周所在的 $4$ 个单位小方格填有相同的数字，就称该填法为“$N-$ 填法”，否则称为“$Y-$ 填法”．如果无论怎样填数字，填法都是“Y--填法”，求正整数 $n$ 的最小值． 2022-04-17 20:52:50
25976 597e9d7dd05b90000c80582b 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A = \left\{ {1 , 2 , 3 , \cdots , 2n + 1} \right\}$（$n \in {\mathbb N^ * }$），集合 $B \subseteq A$，且满足 $\forall x , y \in B$，$x + y \notin B$，则求集合 $B$ 中的元素个数的最大值． 2022-04-17 20:51:50
25892 597556cad3e6ac000757ebb4 高中 解答题 自招竞赛 设 $k,n$ 为给定的整数，$n>k\geqslant 2$．对任意 $n$ 元的数集 $P$，作 $P$ 的所有 $k$ 元子集的元素和，记这些和组成的集合为 $Q$，集合 $Q$ 中元素个数是 ${\rm Card}(Q)$，求 ${\rm Card}(Q)$ 的最大值． 2022-04-17 20:05:50
25875 5976b5026b07450009684b5a 高中 解答题 高中习题 设 $S=\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}$，其中 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是 $n$ 个互不相同的有限集合（$n\geqslant2$），满足对任意 $A_i,A_j\in S$，均有 $A_i\cup A_j\in S$．若 $k=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}{|A_i|}\geqslant2$．证明：存在 $x\in\bigcup\limits_{i=1}^{n}{A_i}$，使得 $x$ 属于 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 中的至少 $\dfrac{n}{k}$ 个集合（这里 $|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数）． 2022-04-17 20:56:49
25863 59706aeedbbeff000706d324 高中 解答题 高中习题 若对平面上的某一格点 $P$，连接原点 $O$ 与该点的线段 $OP$ 上没有其他格点，称格点 $P$ 是自原点可见的．求证：平面上任意一点 $P$ 自原点可见的概率大于 $0.5$． 2022-04-17 20:49:49
25852 59706716dbbeff0008bb4f39 高中 解答题 高中习题 设集合 $A = \left\{ {x \in {\mathbb{Z}}\mid x \geqslant 10} \right\}$，$B$ 是 $A$ 的子集，且 $B$ 中的元素满足：
① 各个数字互不相同；
② 任意两个数字之和不等于 $9$．		 2022-04-17 20:43:49
25773 597e8387d05b90000c80571e 高中 解答题 自招竞赛 是否存在四个正实数，使其两两乘积为 $2,3,5,6,10,16$？ 2022-04-17 20:58:48
25765 597e8814d05b90000c805753 高中 解答题 高中习题 证明：若 $m$ 是任一正整数，则 $a_m=\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{2^m}$ 不是整数． 2022-04-17 20:55:48
25411 590948dc060a05000970b353 高中 解答题 高考真题 对于数对序列 $P:\left({{a_{1}},{b_1}}\right) , \left({{a_{2}},{b_2}}\right) , \cdots , \left({{a_{n}},{b_n}}\right)$，记 ${T_1}\left( P \right) ={a_1}+{b_1}$，$${T_k}\left( P \right) ={b_k}+ \max \left\{{{T_{k - 1}}\left( P \right),{a_1}+{a_2}+ \cdots +{a_k}}\right\}\left({2 \leqslant k \leqslant n}\right),$$其中 $\max \left\{{{T_{k - 1}}\left( P \right),{a_1}+{a_2}+ \cdots +{a_k}}\right\}$ 表示 ${T_{k - 1}}\left( P \right)$ 和 ${a_1}+{a_2}+ \cdots +{a_k}$ 两个数中最大的数． 2022-04-17 20:40:45
25401 5909860439f91d0008f05048 高中 解答题 高中习题 原点处有一匹马，它第一步可以跳到 $(\pm 1,\pm 2)$，$(\pm 2,\pm 1)$ 这八个点中的任一点，问：此马跳到整点 $P(m,n)$ 的最少步数是多少． 2022-04-17 20:35:45
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