题目 设集合 $A = \left\{ {x \in {\mathbb{Z}}\mid x \geqslant 10} \right\}$，$B$ 是 $A$ 的子集，且 $B$ 中的元素满足：<br/>① 各个数字互不相同；<br/>② 任意两个数字之和不等于 $9$． 问题1 集合 $B$ 中的两位数与三位数各有多少个？ 答案1 两位数有 $72$ 个，三位数有 $432$ 个 解析1 集合 $B$ 中的两位数：<br/>十位数字为 $1$ 的数，个位数字不能为 $1$ 和 $8$，所以有 $8$ 个．<br/>十位数字为 $2$ 的数，个位数字不能为 $2$ 和 $7$，所以有 $8$ 个．<br/>依次类推，集合 $B$ 中的两位数共有 $9 \times 8= 72$ 个．<br/>集合 $B$ 中的三位数：<br/>百位数字共有 $9$ 种选择．<br/>选定了百位数字后，十位数字有 $8$ 种选择，个位数字有 $6$ 种选择，所以 $B$ 中的三位数共有 $9 \times 8 \times 6 = 432$ 个． 备注1 问题2 集合 $B$ 中是否有五位数？是否有六位数？ 答案2 $B$ 中有五位数，没有六位数 解析2 将 $0$ 到 $9$ 分为 $5$ 组：$$(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5).$$对于五位数，在这 $5$ 组数中各取一个组成的五位数是集合 $B$ 中的元素．<br/>对于六位数，其中必有两个数位上的数字属于同一组，所以六位数一定不在集合 $B$ 中． 备注2 问题3 将集合 $B$ 中的数从小到大排列，第 $1081$ 个数是什么？ 答案3 $4012$ 解析3 在集合 $B$ 中，两位数与三位数共有 $504$ 个；四位数中千位数字相同的数各有 $8 \times 6 \times 4= 192$ 个．<br/>因此第 $1081$ 个数是千位数字为 $4$ 的第一个数，它是 $4012$． 备注3