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对于数对序列 $P:\left({{a_{1}},{b_1}}\right) , \left({{a_{2}},{b_2}}\right) , \cdots , \left({{a_{n}},{b_n}}\right)$，记 ${T_1}\left( P \right) ={a_1}+{b_1}$，$${T_k}\left( P \right) ={b_k}+ \max \left\{{{T_{k - 1}}\left( P \right),{a_1}+{a_2}+ \cdots +{a_k}}\right\}\left({2 \leqslant k \leqslant n}\right),$$其中 $\max \left\{{{T_{k - 1}}\left( P \right),{a_1}+{a_2}+ \cdots +{a_k}}\right\}$ 表示 ${T_{k - 1}}\left( P \right)$ 和 ${a_1}+{a_2}+ \cdots +{a_k}$ 两个数中最大的数．
【难度】
【出处】
2014年高考北京卷（理）
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    逐步调整法
  • 题型
    >
    组合数学
    >
    组合极值
  1. 对于数对序列 $P:\left({2,5}\right)$，$\left({4,1}\right)$，求 ${T_1}\left( P \right)$，${T_2}\left( P \right)$ 的值；
    标注
    • 方法
      >
      思考方式
      >
      信息迁移
    答案
    $T_1(P)=7$，$T_2(P)=8$
    解析
    将数对序列 $P$ 按矩阵列写，其中第 $k$ 列为数对 $(a_k,b_k)$，$k=1,2,\cdots,n$，则 $T_k(P)$ 就是 $a_1$ 的位置到 $b_k$ 的位置（左上角到右下角）的路径中，经过（每次只能往右或往下移动）的数之和（定义为路径的长度）的最大值，如图所示．$$\begin{matrix}a_1&\to&a_2&\to&a_3&\qquad&a_4&\qquad&a_5\\\qquad&\qquad&\qquad&\qquad&\downarrow&\qquad&\qquad&\qquad&\qquad\\b_1&\qquad&b_2&\qquad&b_3&\to&b_4&\to&b_5\end{matrix}$$根据题意，有 $T_1(P)=7$，而 $T_2(P)=8$，如图．$$\begin{matrix}2&\qquad&4\\\downarrow&\qquad&\qquad\\5&\to&1\end{matrix}$$
  2. 记 $m$ 为 $a,b,c,d$ 四个数中最小的数，对于由两个数对 $\left({a,b}\right)$，$\left({c,d}\right)$ 组成的数对序列 $P:\left({a,b}\right)$，$\left({c,d}\right)$ 和 $P':\left({c,d}\right)$，$\left({a,b}\right)$，试分别对 $m = a$ 和 $m = d$ 两种情况比较 ${T_2}\left( P \right)$ 和 ${T_2}\left({P'}\right)$ 的大小；
    标注
    • 方法
      >
      思考方式
      >
      信息迁移
    答案
    $T_2(P)\leqslant T_2(P')$
    解析
    根据题意，有\[\begin{split}&T_2(P)=a+d+\max\{b,c\}=(a+b+c+d)-\min\{b,c\},\\&T_2(P')=b+c+\max\{a,d\}=(a+b+c+d)-\min\{a,d\},\end{split}\]其中 $\min\{x,y\}$ 表示 $x,y$ 中的最小数．当 $m=a$ 和 $m=d$ 时，均有$$\min\{b,c\}\geqslant \min\{a,d\},$$从而有 $T_2(P)\leqslant T_2(P')$．
  3. 在由 $5$ 个数对 $\left({11,8}\right)$，$\left({5,2}\right)$，$\left({16,11}\right)$，$\left({11,11}\right)$，$\left({4,6}\right)$ 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 $P$ 使 ${T_5}\left( P \right)$ 最小，并写出 ${T_5}\left( P \right)$ 的值．（只需写出结论）
    标注
    • 方法
      >
      代数处理
      >
      逐步调整法
    • 题型
      >
      组合数学
      >
      组合极值
    答案
    $T_5(P)=52$
    解析
    可以按下图排列，使得路径符合要求（路径不唯一）．$$\begin{matrix}4&\to&11&\to&16&\quad&11&\quad&5\\\quad&\quad&\quad&\quad&\downarrow&\quad&\quad&\quad&\quad\\6&\quad&11&\quad&11&\to&8&\to&2\end{matrix}$$此时 $T_5(P)=52$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3 备注3
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