在一个 $n\times 6$（$n\geqslant 2$）的矩形方格表的 $6n$ 个单位小方格中，将每一个单位小方格都填上 $0$ 或 $1$ 两种数字之一．如果有某种填法，使得表中不存在一个矩形方格表，它的四周所在的 $4$ 个单位小方格填有相同的数字，就称该填法为“$N-$ 填法”，否则称为“$Y-$ 填法”．如果无论怎样填数字，填法都是“Y--填法”，求正整数 $n$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
正整数 $n$ 的最小值为 $5$．
首先，$n=4$ 时存在“$N-$ 填法”，如图．取该表的前 $2,3$ 行即得 $n=2,3$ 时的“$N-$ 填法”，因此 $n\geqslant 5$．
接下来，我们证明当 $n\geqslant 5$ 时，所有填法均为“$Y-$ 填法”．只需要证明 $n=5$ 的情形．
不妨设第一列中至少出现了 $3$ 个 $1$，忽略 $0$ 所在的行，考虑剩下的 $5$ 列，必然满足：
$(1)$ 每一列至多含 $1$ 个 $1$，否则这一列与第一列可以构成四个角均为 $1$ 的矩形；
$(2)$ 每一列均不同，否则相同的两列将构成四个角均为相同数字的矩形；
然而至多包含 $1$ 个 $1$ 的所有可能只有 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)$ 共四种，因此这 $5$ 列必然有相同的，与 $(2)$ 矛盾．
因此 $n=5$ 时，所有填法均为 $“Y-$ 填法”．
综上所述，正整数 $n$ 的最小值为 $5$．
首先，$n=4$ 时存在“$N-$ 填法”，如图．取该表的前 $2,3$ 行即得 $n=2,3$ 时的“$N-$ 填法”，因此 $n\geqslant 5$．
接下来，我们证明当 $n\geqslant 5$ 时，所有填法均为“$Y-$ 填法”．只需要证明 $n=5$ 的情形．
不妨设第一列中至少出现了 $3$ 个 $1$，忽略 $0$ 所在的行，考虑剩下的 $5$ 列，必然满足：
$(1)$ 每一列至多含 $1$ 个 $1$，否则这一列与第一列可以构成四个角均为 $1$ 的矩形；
$(2)$ 每一列均不同，否则相同的两列将构成四个角均为相同数字的矩形；
然而至多包含 $1$ 个 $1$ 的所有可能只有 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)$ 共四种，因此这 $5$ 列必然有相同的，与 $(2)$ 矛盾．
因此 $n=5$ 时，所有填法均为 $“Y-$ 填法”．综上所述，正整数 $n$ 的最小值为 $5$．
答案
解析
备注
