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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27577 59084af0060a05000a4a98c9 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整系数多项式 $P(x)$，使得存在一个无穷项整数数列 $\{a_n\}$，其中任意两项互不相等，且满足：$P(a_1)=0$，$P(a_{k+1})=a_k$（$k=1,2,\cdots $）． 2022-04-17 21:32:05
27525 5909433b060a050008cff48e 高中 解答题 高中习题 求 $(1+x)^{2016}$ 的展开式中不能被 $7$ 整除的系数的个数． 2022-04-17 21:07:05
27440 59098e1a38b6b400091effc5 高中 解答题 高中习题 设集合 $A$ 是整数集 $\mathbb Z$ 的子集，其中有正有负，且 $a,b\in A$（$a,b$ 可以相等），则 $a+b\in A$．求证：若 $a,b\in A$，则 $a-b\in A$． 2022-04-17 21:15:04
27430 5909968638b6b40008d7bbb3 高中 解答题 高中习题 在广袤无垠的撒哈拉沙漠里，亚伯拉罕有 $4200$ 瓶水和一匹最多能驼 $1050$ 瓶水的骆驼，他打算将这批水运到 $800$ 公里以外的小镇去换一大笔钱．亚伯拉罕和他的骆驼每在沙漠中行进一公里需要消耗 $1$ 瓶水，那么他最多可以成功的将多少瓶水运送到小镇去（相信我，这些水是如此的珍贵以至于亚伯拉罕可以用这些水以及他的那匹骆驼交换到一架豪华直升飞机回家，因此不需要考虑留下足够多的回程用水）？注：亚伯拉罕有以下技能：真·骆驼驾驭术，寻路术，国际扛饿大品牌·喝水就够术，真·物品藏匿术，真·奸商忽悠术． 2022-04-17 21:10:04
27368 590ac3fd6cddca0008610e42 高中 解答题 高中习题 给定 $n$ 个正整数，考虑由这 $n$ 个正整数中的一个或多个相加得到的所有的和．求证：这些和可以分成 $n$ 组，且每一组中最大数与最小数之比不大于 $2$． 2022-04-17 21:33:03
27364 590ac5d96cddca000a0819c7 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\left\{A_1,A_2,\cdots,A_n\right\}$，其中 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是 $n$ 个互不相同的有限集合（$n\geqslant 2$），满足对任意 $A_i,A_j\in S$，均有 $A_i\cup A_j\in S$．若 $k=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\left|A_i\right|\geqslant 2$．证明：存在 $x\in\bigcup\limits_{i=1}^n{A_i}$，使得 $x$ 属于 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 中的至少 $\dfrac nk$ 个集合（这里 $|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数）． 2022-04-17 21:31:03
27313 590adda16cddca0008610f5b 高中 解答题 高考真题 已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于 $1$ 的自然数．设集合 $M = \left\{{0,1,2, \cdots ,q - 1}\right\}$，集合$$A = \left\{{x \left| \right.{x ={x_1}+{x_2}q + \cdots +{x_n}{q^{n - 1}},{x_i}\in M,i = 1,2, \cdots ,n}}\right\}.$$ 2022-04-17 21:02:03
27296 590bd31e6cddca0008610fbe 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 $13$ 项的等差数列，集合\[A=\left\{a_i+a_j+a_k\left|\right.1\leqslant i < j < k \leqslant 13,i,j,k\in \mathbb {N}^*\right\},\]则 $0,\dfrac 72,\dfrac {16}3$ 能否同时在集合 $A$ 中？ 2022-04-17 21:54:02
27220 590c1518d42ca7000a7e7e4e 高中 解答题 自招竞赛 设有 $mn$ 个实数排成一个 $m$ 行 $n$ 列的阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}} \right\}_{m \times n}}$，使得每一行上的 $n$ 个数从左到右都按递增的顺序排列，即对任意 $1 \leqslant i \leqslant m$，当 ${j_1} < {j_2}$ 时有 ${a_{i{j_1}}} \leqslant {a_{i{j_2}}}$．下面把每列上的 $m$ 个数都从上到下按递增的顺序重排得到阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}^\prime } \right\}_{m \times n}}$，即对任意的 $1 \leqslant j \leqslant n$，当 ${i_1} < {i_2}$ 时有 ${a_{{i_1}j}}^\prime \leqslant {a_{{i_2}j}}^\prime $，问这个新的阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}^\prime } \right\}_{m \times n}}$ 每一行中的 $n$ 个数的大小顺序如何？给出结论并说明理由． 2022-04-17 21:14:02
27204 590c1c13d42ca700085375ca 高中 解答题 自招竞赛 一个班有 $n$ 个同学，每个同学都有一个信息希望通过短信告诉别人．已知每次一个同学可以给另一个同学发短信告诉他自己已经知道的所有信息．问同学们至少一共需要发送多少条短信，才能使每个同学都知道所有的信息？ 2022-04-17 21:05:02
27190 590c27bc857b4200085f8596 高中 解答题 高中习题 求证：任取四个不同的正整数，一定可以用 $24$ 点的规则（用四则运算符号和括号连接这四个数）算出一个 $24$ 的倍数． 2022-04-17 21:57:01
27178 59127adbe020e70007fbed05 高中 解答题 自招竞赛 定义横、纵坐标都是整数的点为格点．在平面直角坐标系中，有对称中心是原点的矩形，证明面积大于 $4$ 的该类矩形至少包含除原点外的其他两个格点． 2022-04-17 21:50:01
27161 590fd599857b420007d3e5ad 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle AOB$ 内（含边界），其中 $O$ 为坐标原点，$A$ 在 $x$ 轴正向，$B$ 在 $y$ 轴正向，且有 $OA = OB = 2$． 2022-04-17 21:40:01
27149 590fe897857b4200092b077b 高中 解答题 高中习题 试问是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别为 $2$，$3$，$5$，$6$，$10$，$16$？ 2022-04-17 21:34:01
27125 5910085b857b42000aca3927 高中 解答题 自招竞赛 设平面上有三个点，任意两个点之间的距离不超过 $1$．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论． 2022-04-17 21:21:01
27108 5927c7c250ce84000aaca977 高中 解答题 高考真题 给定项数 $m(m\in\mathbb N^{*},m\geqslant 3)$ 的数列 $\{a_{n}\}$，其中 $a_{i}\in\{0,1\}$（$i=1,2,\cdots,m$）．若存在一个正整数 $k(2\leqslant k\leqslant m-1)$，若数列 $\{a_{n}\}$ 中存在连续的 $k$ 项和该数列中另一个连续的 $k$ 项恰好按次序对应，则称数列 $\{a_{n}\}$ 是“$k$ 阶可重复数列”，例如：数列 $\{a_{n}\}:0,1,1,0,1,1,0$．因为 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 与 $a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ 按次序对应相等，所以数列 $\{a_{n}\}$ 是“$4$ 阶可重复数列”． 2022-04-17 21:12:01
27070 59579c74d3b4f90007b6fd36 高中 解答题 高中习题 将一堆小球（数量不小于 $2$）分为两堆，记录两堆所包含的小球数之积，将这种操作称为“分堆”，将得到的积称为“分堆积”．将一堆包含 $n$ 个小球的小球进行一次“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_1$；从得到的两堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_2$；再从得到的三堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_3$；依次进行下去，直到最后得到 $n$ 堆小球（每堆的小球数量均为 $1$）为止．设$$S(n)=p_1+p_2+\cdots +p_{n-1},$$证明：$S(n)$ 是一个与分堆的具体过程无关的定值． 2022-04-17 21:50:00
26943 59127180e020e70007fbec6c 高中 解答题 自招竞赛 排球单循环赛，每场比赛获胜队得 $1$ 分，另一队得 $0$ 分．南方球队比北方球队多 $9$ 支，南方球队总得分是北方球队的 $9$ 倍．求证：冠军是一支南方球队． 2022-04-17 20:40:59
26918 59128104e020e700094b0c07 高中 解答题 自招竞赛 $30$ 个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人的身高中最高的设为 $a$；把每行最高的人选出，这些人的身高中最矮的设为 $b$． 2022-04-17 20:25:59
26917 59128252e020e7000878f8b0 高中 解答题 自招竞赛 通信工程中常用 $n$ 数组 $\left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \cdots ,{a_n}} \right)$ 表示信息，其中 ${a_i} = 0$ 或 $1$，$i,n \in {{\mathbb{N}}^ * }$．设 $u = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \cdots ,{a_n}} \right)$，$v = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}, \cdots ,{b_n}} \right)$，$d\left( {u,v} \right)$ 表示 $u$ 和 $v$ 中相对应的元素不同的个数． 2022-04-17 20:24:59
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