通信工程中常用 $n$ 数组 $\left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \cdots ,{a_n}} \right)$ 表示信息，其中 ${a_i} = 0$ 或 $1$，$i,n \in {{\mathbb{N}}^ * }$．设 $u = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \cdots ,{a_n}} \right)$，$v = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}, \cdots ,{b_n}} \right)$，$d\left( {u,v} \right)$ 表示 $u$ 和 $v$ 中相对应的元素不同的个数．
【难度】
【出处】
2008年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
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设 $u = \left( {0,0,0,0,0} \right)$，问存在多少个 $5$ 元数组 $v$ 使得 $d\left( {u,v} \right) = 1$；标注答案$5$解析由题意知，$v$ 中 $5$ 个元素包含 $4$ 个 $0$ 及 $1$ 个 $1$，因此满足条件的 $v$ 的个数为 ${\rm C}_5^1=5$ 个．
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设 $u = \left( {1,1,1,1,1} \right)$，问存在多少个 $5$ 元数组 $v$ 使得 $d\left( {u,v} \right) = 3$；标注答案$10$解析由题意知，$v$ 中 $5$ 个元素包含 $3$ 个 $0$ 及 $2$ 个 $1$，因此满足条件的 $v$ 的个数为 ${\mathrm {C}}_5^2 = 10$ 个．
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令 $w=\left(\underbrace {0,0,0,\cdots,0}_{n \text {个}0}\right)$，$u = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \cdots ,{a_n}} \right)$，$v = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}, \cdots ,{b_n}} \right)$，
求证：$d\left( {u,w} \right) + d\left( {v,w} \right) \geqslant d\left( {u,v} \right)$．标注答案略解析因为 $a_i,b_i\geqslant 0$，所以$$\begin{split}d(u,w)+d(v,w)&=\sum_{i=1}^n{a_i}+\sum_{i=1}^n{b_i}\\ &=\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)\\ &\geqslant \sum_{i=1}^n|a_i-b_i|\\ &=d(u,v).\end{split}$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
