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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
16587 599165c72bfec200011e129c 高中 解答题 高考真题 正项数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$ 满足：$S_n^2 - \left( {{n^2} + n - 1} \right){S_n} - \left( {{n^2} + n} \right) = 0$． 2022-04-17 19:22:24
16530 5f055fd3210b28774f713241 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\{a_n\}(n\in \mathbb{N}^{\ast})$ 的首项 $a_1=1$，前 $n$ 项和为 $S_n$．设 $\lambda$ 和 $k$ 为常数，若对一切正整数 $n$，均有 $S^{\frac{1}{k}}_{n+1}-S^{\frac{1}{k}}_n=\lambda a^{\frac{1}{k}}_{n+1}$ 成立，则称此数列为“$\lambda-k$”数列． 2022-04-17 19:49:23
16510 5f082211210b28775079b126 高中 解答题 高考真题 已知 $\{a_n\}$ 是无穷数列，给出两个性质：
① 对于 $\{a_n\}$ 中任意两项 $a_i,a_j(i>j)$，在 $\{a_n\}$ 中都存在一项 $a_m$，使得 $\frac{a_i^2}{a_j}=a_m$；
② 对于 $\{a_n\}$ 中任意一项 $a_n(n\geqslant 3)$，在 $\{a_n\}$ 中都存在两项 $a_k,a_l(k>l)$，使得 $a_n=\frac{a_k^2}{a_l}.$		 2022-04-17 19:37:23
16064 600a8a67ba458b000aa6aae3 高中 解答题 自招竞赛 正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2=15, 2+\frac{4}{a_n+1}<\frac{a_n}{a_n-4n+2}+\frac{a_n}{a_{n+1}-4n-2}<2+\frac{4}{a_n-1}$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．设 $S_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}$，试求 $S_n$ 的表达式． 2022-04-17 19:24:19
16053 601a41fb25bdad0009f73f57 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=\frac{(n^2+1)^2}{n^4+4}$（$n=1,2,3,\ldots$）．证明：对任意正整数 $n$，都有 $a_1^2a_2^{n-1}a_3^{n-2}\ldots a_n=\frac{2^{n+1}}{n^2+2n+2}$． 2022-04-17 19:18:19
15986 5927c8a750ce840009d77084 高中 解答题 高考真题 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $a_{1}=a(a>3)$，$a_{n+1}=S_{n}+3^{n},n\in\mathbb N^{*}$． 2022-04-17 19:40:18
15895 603efe6125bdad000ac4d7fd 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 为$$1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,\ldots, \underbrace{(-1)^{k-1}k,\ldots, (-1)^{k-1}k}_{k\text{个}}, \ldots,$$即当 $\frac{k(k-1)}{2}<n\leqslant \frac{k(k+1)}{2}$（$k\in\mathbb{N^{\ast}}$）时，有 $a_n=(-1)^{k-1}k$．记 $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．对于 $m\in\mathbb{N^{\ast}}$，定义集合$$P_m=\{n\in\mathbb{N^{\ast}}~|~ S_n\text{是}a_n的整数倍, 1\leqslant n\leqslant m\}.$$试求 $P_{2018}$ 的元素个数． 2022-04-17 19:50:17
15778 61e56275ea59ab000a5152bc 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_{n+1}=1+a_n+\sqrt{1+4a_n}$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），求数列的通项 $a_n$． 2022-04-17 19:51:16
15723 590992d038b6b400091efff4 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{[a_n]}$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:21:16
15705 590acfa06cddca00092f7012 高中 解答题 高中习题 已知曲线 $C_n:x^2-2nx+y^2=0$（$n=1,2,\cdots $）．从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n$ 引斜率为 $k_n$（$k_n>0$）的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n,y_n)$． 2022-04-17 19:11:16
15699 590ad57d6cddca000a081a5a 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=20$，$5a_{n+1}=4a_n^2+20a_n$（$n\in\mathbb N^*$），求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:07:16
15686 590be1ff6cddca000861104e 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{x_n\}$ 满足$$x_{n+1}=\left(\dfrac 2{n^2}+\dfrac 3n+1\right)x_n+n+1,n\in\mathbb N^*,$$且 $x_1=3$，求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:00:16
15685 590bf0d2d42ca7000a7e7df2 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=9$，且 $na_{n+2}-6(n+1)a_{n+1}+9(n+2)a_n=0$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:59:15
15674 590c38aa857b42000aca387b 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且 ${a_1} = 3$，${S_n} = {a_{n + 1}} + 2n - 3$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$． 2022-04-17 19:54:15
15657 59101cb9857b420007d3e650 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，设曲线 $y = \dfrac{1}{x}$ 上的点与 $x$ 轴上的点顺次构成等腰直角三角形 $\triangle O{B_1}{A_1}$，$\triangle {A_1}{B_2}{A_2}$，…，直角顶点在曲线 $y = \dfrac{1}{x}$ 上．试求 ${A_n}$ 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在极限． 2022-04-17 19:44:15
15644 591186cde020e7000878f6ad 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_n} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}}$，求 ${S_{2003}}$． 2022-04-17 19:35:15
15612 5912abf8e020e700094b0cdb 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${a^2} + a - 1 = 0$，${b^2} + b - 1 = 0$，$a < b$，设 ${a_1} = 1$，${a_2} = b$，${a_{n + 1}} + {a_n} - {a_{n - 1}} = 0$（$n \geqslant 2$），${b_n} = {a_{n + 1}} - a \cdot {a_n}$． 2022-04-17 19:16:15
15568 59574937d3b4f90007b6fcf4 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\dfrac{2x}{ax+b}$，$f(1)=1$，$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac23$，令 $x_1=\dfrac12$，$x_{n+1}=f(x_n)$． 2022-04-17 19:50:14
15561 595c81036e0c650007a0427c 高中 解答题 高中习题 已知 $S(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n{i^k}$，其中 $k,n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 19:47:14
15269 5c6a3efd210b281dbaa93352 高中 解答题 自招竞赛 求 $10\cot \left( \text{arc}\cot 3+\text{arc}\cot 7+\text{arc}\cot 13+\text{arc}\cot 21 \right)$ 的值． 2022-04-17 19:10:12
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