已知 $\{a_n\}$ 是无穷数列，给出两个性质：
① 对于 $\{a_n\}$ 中任意两项 $a_i,a_j(i>j)$，在 $\{a_n\}$ 中都存在一项 $a_m$，使得 $\frac{a_i^2}{a_j}=a_m$；
② 对于 $\{a_n\}$ 中任意一项 $a_n(n\geqslant 3)$，在 $\{a_n\}$ 中都存在两项 $a_k,a_l(k>l)$，使得 $a_n=\frac{a_k^2}{a_l}.$
① 对于 $\{a_n\}$ 中任意两项 $a_i,a_j(i>j)$，在 $\{a_n\}$ 中都存在一项 $a_m$，使得 $\frac{a_i^2}{a_j}=a_m$；
② 对于 $\{a_n\}$ 中任意一项 $a_n(n\geqslant 3)$，在 $\{a_n\}$ 中都存在两项 $a_k,a_l(k>l)$，使得 $a_n=\frac{a_k^2}{a_l}.$
【难度】
【出处】
2020年高考北京卷
【标注】
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若 $a_n=n(n=1,2,\cdots)$，判断数列 $\{a_n\}$ 是否满足性质 ①，说明理由；标注答案略解析不满足，取 $i=3$，$j=2$，结果为 $\frac92$，不符合题意．
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若 $a_n=2^{n-1}(n=1,2,\cdots)$，判断数列 $\{a_n\}$ 是否同时满足性质 ① 和性质 ②，说明理由；标注答案略解析满足 ①，②
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若 $\{a_n\}$ 是递增数列，且同时满足性质 ① 和性质 ②，证明：$\{a_n\}$ 为等比数列．标注答案略解析由 ① 可知 $a_i,a_j,\frac{a_j^2}{a_i}$ 为等比．得到结论，对于数列中任意两项 $a_i,a_j$ $\left(i<j\right)$，存在等比的下一项 $\frac{a_j^2}{a_i}$．
于是我们可以得到存在以 $a_1$ 为首项，$a_2$ 为第二项的等比子列．
其中 $a_3=\frac{a_{k_3}^2}{a_{l_3}}$，$3>k_3>l_3$，只能 $k_3=2$，$l_3=1$．于是 $a_3$ 是上述等比子列的第三项．设 $q=\frac{a_2}{a_1}$．
假设 $a_n$ 均为上述等比子列的一项，其中 $n=1,2,\cdots,t-1,\left(t\geqslant 4\right)$．
我们考虑 $a_t=\frac{a_{k_t}^2}{a_{l_t}}=a_{k_t}q^{k_t-l_t}$，即 $a_t$ 也为上述子列中一项．
故整个数列为等比数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
