设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且 ${a_1} = 3$，${S_n} = {a_{n + 1}} + 2n - 3$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$．
【难度】
【出处】
2013年卓越大学联盟自主选拔录取学科基础测试数学试题
【标注】
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求 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式；标注答案${a_n} = {2^{n - 1}} + 2,n\in\mathbb N^*$解析由 ${a_1} = 3$，及 ${S_n} = {a_{n + 1}} + 2n - 3$，得 ${a_2} = 4$．当 $n \geqslant 2$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$ 时，$${S_n} = {a_{n + 1}} + 2n - 3,$$$${S_{n - 1}} = {a_n} + 2\left( {n - 1} \right) - 3,$$两式相减得$${a_{n + 1}} = 2{a_n} - 2,$$即$${a_{n + 1}} - 2 = 2\left( {{a_n} - 2} \right),$$所以$${a_n} = {2^{n - 1}} + 2\left( {n \geqslant 2} \right),$$显然 $n = 1$ 时也成立．
所以 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式为$${a_n} = {2^{n - 1}} + 2.$$ -
设 ${b_n} = {2^n} + {\left( { - 1} \right)^n}\lambda {a_n}$．若对所有的 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$，都有 ${b_{n + 1}} > {b_n}$，求实数 $\lambda $ 的取值范围．标注答案$\left(-\dfrac 27,\dfrac 25\right)$解析由题意及 ${a_n} = {2^{n - 1}} + 2$，得$${b_n} = {2^n} + {\left( { - 1} \right)^n}\lambda \left( {{2^{n - 1}} + 2} \right),$$$${b_{n + 1}} = {2^{n + 1}} + {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\lambda \left( {{2^n} + 2} \right).$$两式相减，并由 ${b_{n + 1}} > {b_n}$ 得$${b_{n + 1}} - {b_n} = {2^n} + {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\lambda \left( {3 \times {2^{n - 1}} + 4} \right) > 0,$$当 $n$ 为偶数时，$${2^n} > \lambda \left( {3 \times {2^{n - 1}} + 4} \right),$$所以$$\lambda < \dfrac{{{2^n}}}{{3 \times {2^{n - 1}} + 4}}.$$易知 $\left\{ {\dfrac{{{2^n}}}{{3 \times {2^{n - 1}} + 4}}} \right\}$ 单调递增，所以$$\lambda < \dfrac{{{2^2}}}{{3 \times {2^{2 - 1}} + 4}} = \dfrac{2}{5}.$$当 $n$ 为奇数时，$${2^n} >- \lambda \left( {3 \times {2^{n - 1}} + 4} \right),$$所以$$\lambda > -\dfrac{{{2^n}}}{{3 \times {2^{n - 1}} + 4}}.$$易知 $\left\{ { - \dfrac{{{2^n}}}{{3 \times {2^{n - 1}} + 4}}} \right\}$ 单调递减，所以$$\lambda > -\dfrac{{{2^1}}}{{3 \times {2^{1 - 1}} + 4}} = - \dfrac{2}{7}.$$综上，$\lambda $ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 27,\dfrac 25\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
