已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_{n+1}=1+a_n+\sqrt{1+4a_n}$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），求数列的通项 $a_n$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$n^2-\left(2-\sqrt 5\right)n+2-\sqrt 5,n\in\mathbb N^{\ast}$
【解析】
根据题意，有\[a_{n+1}+\dfrac 14=\left(\sqrt{a_n+\dfrac 14}+1\right)^2,\]于是\[\sqrt{a_{n+1}+\dfrac 14}-\sqrt{a_n+\dfrac 14}=1,\]从而\[\sqrt{a_n+\dfrac 14}=n-1+\dfrac{\sqrt 5}2,\]因此\[a_n=n^2-\left(2-\sqrt 5\right)n+2-\sqrt 5,n\in\mathbb N^{\ast}.\]
答案
解析
备注
