已知数列 $\{a_n\}(n\in \mathbb{N}^{\ast})$ 的首项 $a_1=1$，前 $n$ 项和为 $S_n$．设 $\lambda$ 和 $k$ 为常数，若对一切正整数 $n$，均有 $S^{\frac{1}{k}}_{n+1}-S^{\frac{1}{k}}_n=\lambda a^{\frac{1}{k}}_{n+1}$ 成立，则称此数列为“$\lambda-k$”数列．
【难度】
【出处】
2020年高考江苏卷
【标注】
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若等差数列是“$\lambda-k$”数列，求 $\lambda$ 的值；标注答案$1$解析解：因为等差数列 $\{a_n\}$ 是“$\lambda-1$”，则 $S_{n+1}-S_n=\lambda a_{n+1}$，即 $a_{n+1}=\lambda a_{n+1}$，
也即 $(\lambda-1)a_{n+1}=0$，此式对一切正整数 $n$ 均成立．
若 $\lambda\ne 1$，则 $a_{n+1}=0$ 恒成立，故 $a_3-a_2=0$，而 $a_2-a_1=-1$，
这与 $\{a_n\}$ 是等差数列矛盾．
所以 $\lambda=1$．（此时，任意首项为 $1$ 的等差数列都是“$1-1$”数列） -
若数列 $\{a_n\}$ 是“$\frac{\sqrt3}{3}-2$”数列，且 $a_n>0$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\begin{cases}1(n=1),\\3\times4^{n-2}(n\geqslant 2).\end{cases}$解析解：因为数列 $\{a_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$ 是“$\frac{\sqrt3}{3}-2$”数列，
所以 $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n}=\frac{\sqrt3}{3}\sqrt{a_{n+1}}$，即 $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n}=\frac{\sqrt3}{3}\sqrt{S_{n+1}-S_n}$．
令 $\sqrt{\frac{S_{n+1}}{S_n}}=b_n$，则 $b_n-1=\frac{\sqrt3}{3}\sqrt{b_n^2-1}$，即 $(b_n-1)^2=\frac{1}{3}(b_n^2-1)(b_n>1)$．
解得 $b_n=2$，即 $\sqrt{\frac{S_{n+1}}{S_n}}=2$，也即 $\frac{S_{n+1}}{S_n}=4$，
所以数列 $\{S_n\}$ 是公比为4的等比数列．
因为 $S_1=a_1=1$，所以 $S_n=4^{n-1}$．
则 $a_n=\begin{cases}1(n=1),\\3\times4^{n-2}(n\geqslant 2).\end{cases}$ -
对于给定的 $\lambda$，是否存在三个不同的数列 $\{a_n\}$ 为“$\lambda-3$”数列，且 $a_n\geqslant 0$？若存在，求出 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由．标注答案$\lambda\in(0,1)$解析解：
设各项非负的数列 $\{a_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$ 为“$\lambda-3$”数列，
则 $S^{\frac{1}{3}}_{n+1}-S^{\frac{1}{3}}_{n}=\lambda a^{\frac{1}{3}}_{n+1}$，即 $\sqrt[3]{S_{n+1}}-\sqrt[3]{S_{n}}=\lambda\sqrt[3]{s_{n+1}-S_n}$．
令 $\sqrt[3]{\frac{S_{n+1}}{S_n}}=c_n$，则 $c_n-1=\lambda\sqrt[3]{c^3_n-1}(c_n\geqslant 1)$，即 $(c_n-1)^3=\lambda^3(c^3_n-1)(c_n\geqslant 1)$．（*）
① 若 $\lambda\leqslant 0$ 或 $\lambda=1$，则（*）只有一解为 $c_n=1$，即符合条件的数列 $\{a_n\}$ 只有一个．
（此数列为 $1,0,0,0,\cdots$）
② 若 $\lambda>1$，则（*）化为 $(c_n-1)\left(c^2_n+\frac{\lambda^3+2}{\lambda^3-1}c_n+1\right)=0$，
因为 $c_n\geqslant 1$，所以 $c^2_n+\frac{\lambda^3+2}{\lambda^3-1}c_n+1>0$，则（*）只有一解为 $c_n=1$，
即符合条件的数列 $\{a_n\}$ 只有一个．
（此数列为 $1,0,0,0,\cdots$）
③ 若 $0<\lambda<1$，则 $c^2_n+\frac{\lambda^3+2}{\lambda^3-1}c_n+1=0$ 的两根分别在 $(0,1)$ 与 $(1,+\infty)$ 内，
则方程（*）有两个大于或等于 $1$ 的解：其中一个为 $1$，另一个大于 $1$（记此解为 $t$）．
所以 $S_{n+1}=S_n$ 或 $S_{n+1}=t^3S_n$．
由于数列 $\{S_n\}$ 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列 $\{S_n\}$ 由无数多个，则对应的 $\{a_n\}$ 有无数个．
综上所述，能存在三个各项非负的数列 $\{a_n\}$ 为“$\lambda-3$”数列，$\lambda$ 的取值范围是 $0<\lambda<1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
