如图所示，设曲线 $y = \dfrac{1}{x}$ 上的点与 $x$ 轴上的点顺次构成等腰直角三角形 $\triangle O{B_1}{A_1}$，$\triangle {A_1}{B_2}{A_2}$，…，直角顶点在曲线 $y = \dfrac{1}{x}$ 上．试求 ${A_n}$ 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在极限．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学保送生测试题
【标注】
【答案】
$A_n(2\sqrt n,0)$，这些三角形的面积之和不存在极限
【解析】
假设 ${A_n}\left( {{x_n},0} \right)$，${B_n}\left( {{y_n},\dfrac{1}{{{y_n}}}} \right)$，则$$\dfrac{{{x_{n + 1}} - {x_n}}}{2} = \dfrac{1}{{{y_{n + 1}}}},$$$$\dfrac{{{x_{n + 1}} + {x_n}}}{2} = {y_{n + 1}}.$$两式相乘，得$$x_{n + 1}^2 - x_n^2 = 4.$$又 ${x_0} = 0$，所以$$x_n^2 = 4n,$$得$${x_n} = 2\sqrt n .$$第 $n$ 个三角形的面积\[\begin{split}\dfrac{1}{4}{\left( {{x_n} - {x_{n - 1}}} \right)^2} &= \dfrac{1}{4}{\left( {2\sqrt n - 2\sqrt {n - 1} } \right)^2} \\&= {\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)^2}\\&= \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt n + \sqrt {n - 1} } \right)}^2}}} \\& \geqslant \dfrac{1}{{{{\left( {2\sqrt n } \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{4n}}.\end{split}\]而无穷级数 $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} + \cdots $ 是发散的，于是这些三角形的面积之和并不存在极限．
答案
解析
备注
