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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27518 594392f9a26d280009c98bbf 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$P$ 为弧 $BC$ 上一点，点 $K$ 在线段 $AP$ 上，使得 $BK$ 平分 $\angle ABC$．过 $K$、$P$、$C$ 三点的圆 $\Omega$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，连接 $BD$ 交圆 $\Omega$ 于点 $E$，连接 $PE$ 并延长与边 $AB$ 交于点 $F$，证明：$\angle ABC=2\angle FCB$． 2022-04-17 21:01:05
27453 5909882239f91d000a7e456b 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega$，$P,Q$ 是线段 $AB$ 上的点，且 $AP<AQ$．射线 $CP,CQ$ 分别交圆 $\omega$ 于点 $S,T$．如果 $AP=4,PQ=3,QB=6,BT=5,AS=7$，设 $ST=\dfrac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 21:21:04
25393 59098f6e38b6b400072dd206 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$X,Y$ 是直线 $BC$ 上两点（$X,B,C,Y$ 顺次排列），使得$$BX\cdot AC=CY\cdot AB.$$设 $\triangle ACX,\triangle ABY$ 的外心分别为 $O_1,O_2$，直线 $O_1O_2$ 与 $AB,AC$ 分别交于点 $U,V$．证明：$\triangle AUV$ 是等腰三角形． 2022-04-17 20:30:45
22944 592418c682e8bd0007791fd9 高中 解答题 高中习题 如图，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内部一点，且 $\angle BAP=\angle CAP=\angle CBP=\angle ACP$，求证：$BC^2=AC\cdot AB$． 2022-04-17 20:04:23
22471 59bbd5208b403a0008ec5ee1 高中 解答题 高中习题 给定两个相交的圆 $O_1$ 和 $O_2$．记 $A,B$ 为两圆的交点．一条动直线经过 $B$ 点与圆 $O_1$ 相交于另一点 $C$，与圆 $O_2$ 相交于另一点 $D$，且点 $B$ 在线段 $CD$ 内部，过 $C$ 的圆 $O_1$ 的切线与过 $D$ 的圆 $O_2$ 的切线相交于 $M$，连接 $AM$ 交 $CD$ 于 $E$，过 $E$ 作 $DM$ 的平行线交 $AD$ 于 $K$，求证：直线 $BK$ 是圆 $O_1$ 的切线． 2022-04-17 20:31:18
19389 590ac5ff6cddca000a0819ca 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$P$ 为弧 $BC$ 上一点，点 $K$ 在线段 $AP$ 上，使得 $BK$ 平分 $\angle ABC$．过 $K$、$P$、$C$ 三点的圆 $\Omega$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，连接 $BD$ 交圆 $\Omega$ 于点 $E$，连接 $PE$ 并延长与边 $AB$ 交于点 $F$，证明：$\angle ABC=2\angle FCB$． 2022-04-17 19:09:50
16653 599165c52bfec200011e0caf 高中 解答题 高考真题 如图，$ AB $ 是圆 $ O $ 的直径，$ C $、$ D $ 是圆 $ O $ 上位于 $ AB $ 异侧的两点．证明：$ \angle OCB=\angle D $． 2022-04-17 19:55:24
16634 599165c32bfec200011e06b4 高中 解答题 高考真题 如图，$P$ 是 $ \odot O$ 外一点，$PA$ 是切线，$A$ 为切点，割线 $PBC$ 与 $ \odot O$ 相交于点 $B$，$C$，$PC = 2PA$，$D$ 为 $PC$ 的中点，$AD$ 的延长线交 $ \odot O$ 于点 $E$．证明： 2022-04-17 19:46:24
16614 599165c62bfec200011e10d7 高中 解答题 高考真题 如图，$ EP $ 交圆于 $ E$，$C $ 两点，$ PD $ 切圆于 $ D $，$ G $ 为 $ CE $ 上一点且 $PG = PD$，连接 $ DG $ 并延长交圆于点 $ A $，作弦 $ AB $ 垂直 $ EP $，垂足为 $ F $． 2022-04-17 19:36:24
16601 599165c32bfec200011e0874 高中 解答题 高考真题 如图，四边形 $ABCD$ 是 $ \odot O$ 的内接四边形，$AB$ 的延长线与 $DC$ 的延长线交于点 $E$，且 $CB = CE$． 2022-04-17 19:30:24
12921 599165c92bfec200011e17ad 高中 填空题 高考真题 如图，$AB$ 是圆的直径，弦 $CD$ 与 $AB$ 相交于点 $E$，$BE=2AE=2$，$BD=ED$，则线段 $CE$ 的长为 ． 2022-04-16 22:41:44
12763 599165c22bfec200011e039f 高中 填空题 高考真题 如图，已知 $AB$，$BC$ 是 $ \odot O$ 的两条弦，$AO \perp BC$，$AB = \sqrt 3$，$BC = 2\sqrt 2 $，则 $ \odot O$ 的半径等于 ． 2022-04-16 22:09:43
12753 599165c02bfec200011dfee3 高中 填空题 高考真题 如图，$P$ 为 $ \odot O$ 外一点，过 $P$ 点作 $ \odot O$ 的两条切线，切点分别为 $A$，$B$，过 $PA$ 的中点 $Q$ 作割线交 $ \odot O$ 于 $C$，$D$ 两点．若 $QC = 1$，$CD = 3$，则 $PB = $  ． 2022-04-16 22:03:43
7756 59241b4782e8bd0008dcc0e2 高中 填空题 高中习题 在直角 $\triangle ABC$ 中，$C$ 为直角，$\angle BDC=2\angle BCD$，$AB=8$，$CD=3$，则 $AD\cdot BD=$  ． 2022-04-16 21:44:53
2611 5a44cac2fab7080007917a77 高中 选择题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 的外心为 $O$，三条高线 $AD,BE,CF$ 相交于一点 $H$，$ED$ 与 $AB$ 延长线交于点 $I$，$FD$ 与 $AC$ 延长线交于 $J$，则 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:17:17
2079 5a3e274dfab7080007917935 高中 选择题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 的外心为 $O$，三条高线 $AD,BE,CF$ 相交于一点 $H$，$ED$ 与 $AB$ 延长线交于点 $I$，$FD$ 与 $AC$ 延长线交于 $J$，则 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:29:12
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