如图，$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$P$ 为弧 $BC$ 上一点，点 $K$ 在线段 $AP$ 上，使得 $BK$ 平分 $\angle ABC$．过 $K$、$P$、$C$ 三点的圆 $\Omega$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，连接 $BD$ 交圆 $\Omega$ 于点 $E$，连接 $PE$ 并延长与边 $AB$ 交于点 $F$，证明：$\angle ABC=2\angle FCB$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $CF$ 与圆 $\Omega$ 交于点 $L$（异于 $C$）．
对圆内接广义六边形 $DCPELK$ 应用帕斯卡定理可知，$DC$ 与 $KP$ 的交点 $A$、$CL$ 与 $PE$ 的交点 $F$、$LK$ 与 $ED$ 的交点 $B'$ 共线，因此 $B'$ 是 $AF$ 与 $ED$ 的交点，即 $B'=B$，所以 $B$、$K$、$L$ 共线．根据 $A$、$B$、$P$、$C$ 四点共圆及 $L$、$K$、$P$、$C$ 四点共圆，得\[\angle ABC=\angle APC=\angle KLC=\angle FCB+\angle LBC,\]又由 $BK$ 平分 $\angle ABC$ 知\[\angle ABC=2\angle LBC,\]从而 $\angle ABC=2\angle FCB$．
对圆内接广义六边形 $DCPELK$ 应用帕斯卡定理可知，$DC$ 与 $KP$ 的交点 $A$、$CL$ 与 $PE$ 的交点 $F$、$LK$ 与 $ED$ 的交点 $B'$ 共线，因此 $B'$ 是 $AF$ 与 $ED$ 的交点，即 $B'=B$，所以 $B$、$K$、$L$ 共线．根据 $A$、$B$、$P$、$C$ 四点共圆及 $L$、$K$、$P$、$C$ 四点共圆，得\[\angle ABC=\angle APC=\angle KLC=\angle FCB+\angle LBC,\]又由 $BK$ 平分 $\angle ABC$ 知\[\angle ABC=2\angle LBC,\]从而 $\angle ABC=2\angle FCB$．
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