对于选项 A，因为 $A,C,D,F$ 四点共圆，故 $\angle BDF=\angle BAC$，命题正确．
对于选项 B，由于 $A,C,D,F$ 四点共圆，于是\[BA\cdot BF=BD\cdot BC,\]又\[\begin{split} \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BF}=-\dfrac 12\cdot AB\cdot BF,\\
\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BD}=-\dfrac 12\cdot BC\cdot BD,\end{split}\]于是\[\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BD},\]即\[\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{FD}=0.\]对于选项 C，与选项 B 类似．
对于选项 D，由直线 $IDE$ 截 $\triangle ABC$，应用梅涅劳斯定理可得\[\dfrac{AI}{IB}\cdot \dfrac{BD}{DC}\cdot \dfrac{CE}{EA}=1,\]点 $H$ 关于 $\triangle ABC$ 的塞瓦定理可得\[\dfrac{AF}{FB}\cdot \dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1,\]于是\[\dfrac{AI}{IB}=\dfrac{AF}{FB},\]进而\[\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AF}{AF-FB}=\dfrac{AF}{2AF-AB},\]于是\[\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{OH}=AI\left(AF-\dfrac 12AB\right)=\dfrac{AF\cdot AB}{2AF-AB}\cdot \left(AF-\dfrac 12AB\right)=\dfrac 12\cdot AF\cdot AB,\]类似的，可得\[\overrightarrow{AJ}\cdot \overrightarrow{OH}=\dfrac 12\cdot AE\cdot AC,\]由 $B,C,E,F$ 四点共圆可得\[AF\cdot AB=AE\cdot AC,\]于是\[\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{OH},\]即\[\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{OH}=0.\]