如图，$\triangle ABC$ 的外心为 $O$，三条高线 $AD,BE,CF$ 相交于一点 $H$，$ED$ 与 $AB$ 延长线交于点 $I$，$FD$ 与 $AC$ 延长线交于 $J$，则 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
【答案】
ABCD
【解析】
对于选项 A，因为 $A,C,D,F$ 四点共圆，故 $\angle BDF=\angle BAC$，命题正确．
对于选项 BC，如图，过点 $B$ 作圆 $O$ 的切线 $BG$，则 $OB\perp BG$．
因为\[\angle CBG=\angle BAC=\angle BDF,\]所以 $FD$ 与 $BG$ 平行，故 $OB\perp FD$，选项 B 正确，类似的可得选项 C 正确．
对于选项 D，有\[\left.\begin{split} IA\perp HC \Rightarrow IH^2-AH^2=IC^2-AC^2,\\
JA\perp HB\Rightarrow JH^2-AH^2=JB^2-AB^2,\end{split}\right\}\Rightarrow IH^2-JH^2=(IC^2-JB^2)+(AB^2-AC^2),\]又\[\left.\begin{split} ID\perp OC\Rightarrow IO^2-IC^2=DO^2-DC^2,\\
JD\perp OB \Rightarrow JO^2-JB^2=DO^2-DB^2,\end{split}\right\}\Rightarrow IO^2-JO^2=(IC^2-JB^2)+(DB^2-DC^2),\]而 $AD\perp BC$，于是\[AB^2-AC^2=DB^2-DC^2,\]所以\[IH^2-JH^2=IO^2-JO^2,\]因此 $OH\perp IJ$，选项 D 正确．
对于选项 BC，如图，过点 $B$ 作圆 $O$ 的切线 $BG$，则 $OB\perp BG$．
因为\[\angle CBG=\angle BAC=\angle BDF,\]所以 $FD$ 与 $BG$ 平行，故 $OB\perp FD$，选项 B 正确，类似的可得选项 C 正确．对于选项 D，有\[\left.\begin{split} IA\perp HC \Rightarrow IH^2-AH^2=IC^2-AC^2,\\
JA\perp HB\Rightarrow JH^2-AH^2=JB^2-AB^2,\end{split}\right\}\Rightarrow IH^2-JH^2=(IC^2-JB^2)+(AB^2-AC^2),\]又\[\left.\begin{split} ID\perp OC\Rightarrow IO^2-IC^2=DO^2-DC^2,\\
JD\perp OB \Rightarrow JO^2-JB^2=DO^2-DB^2,\end{split}\right\}\Rightarrow IO^2-JO^2=(IC^2-JB^2)+(DB^2-DC^2),\]而 $AD\perp BC$，于是\[AB^2-AC^2=DB^2-DC^2,\]所以\[IH^2-JH^2=IO^2-JO^2,\]因此 $OH\perp IJ$，选项 D 正确．
题目
答案
解析
备注
