如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$X,Y$ 是直线 $BC$ 上两点（$X,B,C,Y$ 顺次排列），使得$$BX\cdot AC=CY\cdot AB.$$设 $\triangle ACX,\triangle ABY$ 的外心分别为 $O_1,O_2$，直线 $O_1O_2$ 与 $AB,AC$ 分别交于点 $U,V$．证明：$\triangle AUV$ 是等腰三角形．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 的公共弦为 $AD$，$AD$ 交 $XY$ 于 $E$．
由于 $AD$ 为两圆的根轴，于是 $E$ 点对圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 的幂相等，从而$$XE\cdot CE=BE\cdot YE,$$进而结合合分比定理有$$\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{XE}{YE}=\dfrac{XB}{YC},$$又由已知，有 $\dfrac{XB}{YC}=\dfrac{AB}{AC}$，于是有 $\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{AB}{AC}$，从而 $AE$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线．又 $AD\perp O_1O_2$，于是 $U,V$ 关于直线 $AD$ 对称，因此 $\triangle AUV$ 是等腰三角形．
由于 $AD$ 为两圆的根轴，于是 $E$ 点对圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 的幂相等，从而$$XE\cdot CE=BE\cdot YE,$$进而结合合分比定理有$$\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{XE}{YE}=\dfrac{XB}{YC},$$又由已知，有 $\dfrac{XB}{YC}=\dfrac{AB}{AC}$，于是有 $\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{AB}{AC}$，从而 $AE$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线．又 $AD\perp O_1O_2$，于是 $U,V$ 关于直线 $AD$ 对称，因此 $\triangle AUV$ 是等腰三角形．
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备注
