给定两个相交的圆 $O_1$ 和 $O_2$．记 $A,B$ 为两圆的交点．一条动直线经过 $B$ 点与圆 $O_1$ 相交于另一点 $C$，与圆 $O_2$ 相交于另一点 $D$，且点 $B$ 在线段 $CD$ 内部，过 $C$ 的圆 $O_1$ 的切线与过 $D$ 的圆 $O_2$ 的切线相交于 $M$，连接 $AM$ 交 $CD$ 于 $E$，过 $E$ 作 $DM$ 的平行线交 $AD$ 于 $K$，求证：直线 $BK$ 是圆 $O_1$ 的切线．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\angle BDM=\angle BAD=\angle BEK,\]于是 $A,E,B,K$ 四点共圆，进而\[\angle ABK=\angle AEK=\angle AMD.\]又由于 $\angle MCD=\angle CAB,\angle MDC=\angle BAD,$ 于是\[\angle CMD+\angle MCD+\angle MDC=\angle CMD+\angle CAB+\angle BAD=\angle CMD+\angle CAD=180^\circ,\]因此 $A,C,M,D$ 四点共圆，进而\[\angle ACD=\angle AMD.\]综上所述，有\[\angle ABK=\angle ACD,\]由弦切角定理的逆定理，$BK$ 是圆 $O_1$ 的切线．
答案
解析
备注
