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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
17276 59882b8a5ed01a000ba75c32 高中 解答题 自招竞赛 （12分）如图，在正 $\triangle ABC$ 中，点 $D$、$E$ 分别在边 $AC$、$AB$ 上，且 $AD=\dfrac{1}{3}AC$，$AE=\dfrac{2}{3}AB$，$BD$、$CE$ 相交于点 $F$． 2022-04-17 19:51:30
17267 598917ec5ed01a000ba75cc9 高中 解答题 自招竞赛 已知定点 $M(-3,0)$，$P$ 和 $Q$ 分别是 $x$ 轴及 $y$ 轴上的动点，且使 $MP\perp PQ$，点 $N$ 在直线 $PQ$ 上，$\overrightarrow{PN}=-\dfrac 32 \overrightarrow{NQ}$． 2022-04-17 19:46:30
17181 5e65ce66210b280d36111852 高中 解答题 高考真题 已知曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{2}$，$D$ 为直线 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$．
（1）证明：直线 $AB$ 过定点；
（2）若以 $E\left(0,\dfrac{5}{2}\right)$ 为圆心的圆与直线 $AB$ 相切，且切点为线段 $AB$ 的中点，求该圆的方程．		 2022-04-17 19:56:29
17175 5e61b82b210b280d3611179e 高中 解答题 高考真题 已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上的点，$O$ 为坐标原点．
（1）若 $\triangle POF_2$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；
（2）如果存在点 $P$，使得 $PF_1\perp PF_2$，且 $\triangle F_1PF_2$ 的面积等于 $16$，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围．		 2022-04-17 19:53:29
17173 5e61b985210b280d361117a9 高中 解答题 高考真题 在极坐标系中，$O$ 为极点，点 $M(\rho_0,\theta_0)(\rho_0>0)$ 在曲线 $C:\rho=4\sin\theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $OM$ 垂直，垂足为 $P$．
（1）当 $\theta_0=\dfrac{\pi}{3}$ 时，求 $\rho_0$ 及 $l$ 的极坐标方程；
（2）当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $OM$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程．		 2022-04-17 19:52:29
17167 5e5f1dbb210b280d37822484 高中 解答题 高考真题 已知点 $A,B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，$|AB|=4$，$\odot M$ 过点 $A,B$ 且与直线 $x+2=0$ 相切．
（1）若 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上，求 $\odot M$ 的半径；
（2）是否存在定点 $P$，使得当 $A$ 运动时，$|MA|-|MP|$ 为定值？并说明理由．		 2022-04-17 19:49:29
17166 5e5f1e2c210b280d36111704 高中 解答题 高考真题 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的坐标方程为 $\begin{cases}x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\\y=\dfrac{4t}{1+t^2}\end{cases}$（$t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2\rho \cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$．
（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．		 2022-04-17 19:48:29
17160 5e5c7c38210b280d37822409 高中 解答题 高考真题 设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，左顶点为 $A$，上顶点为 $B$．已知 $\sqrt{3}|OA|=2|OB|$（$O$ 为原点）．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\dfrac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $OC\parallel AP$．求椭圆的方程．		 2022-04-17 19:45:29
17155 5e574472210b280d36111592 高中 解答题 高考真题 如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点．过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $Q$，且 $Q$ 在点 $F$ 的右侧．记 $\triangle AFG,\triangle CQG$ 的面积分别为 $S_1,S_2$．（I）求 $p$ 的值及抛物线的准线方程；
（II）求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标．		 2022-04-17 19:42:29
17149 5e5488ca210b280d361114ca 高中 解答题 高考真题 设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，上顶点为 $B$，已知椭圆的短轴长为 $4$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上下顶点，点 $M$ 为直线 $PB$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上．若 $|ON|=|OF|$（$O$ 为原点），且 $OP\perp MN$，求直线 $PB$ 的斜率．		 2022-04-17 19:40:29
17142 5e4f66dc210b280d37822280 高中 解答题 高考真题 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$，且经过点 $A(0,1)$．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设 $O$ 为原点，直线 $l"y=kx+t(t\ne \pm 1)$ 与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P,Q$，直线 $AP$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，若 $|OM|\cdot |ON|=2$，求证：直线 $l$ 经过定点．		 2022-04-17 19:37:29
17137 5e4ca977210b280d3782219c 高中 解答题 高考真题 已知抛物线 $C:x^2=-2py$ 经过点 $(2,-1)$．
（I）求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程；
（II）设 $O$ 为原点，过抛物线 $C$ 的焦点作斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M,N$，直线 $y=-1$ 分别交直线 $OM,ON$ 于点 $A$ 和 $B$ 。求证：以 $AB$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点．		 2022-04-17 19:33:29
17131 5e49fe3d210b280d3782207d 高中 解答题 高考真题 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_1(–1、0),F_2(1,0)$．过 $F_2$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_2:(x-1)^2+y^2=4a^2$ 交于点 $A$，与椭圆 $C$ 交于点 $D$．连结 $AF_1$ 并延长交圆 $F_2$ 于点 $B$，连结 $BF_2$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$，连结 $DF_1$．已知 $DF_1=\dfrac{5}{2}$．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求点 $E$ 的坐标．		 2022-04-17 19:30:29
17130 5e4a004d210b280d36111189 高中 解答题 高考真题 如图，一个湖的边界是圆心为 $O$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $l$，湖上有桥 $AB$（$ AB $ 是圆 $ O $ 的直径）．规划在公路 $ l $ 上选两个点 $ P、Q $，并修建两段直线型道路 $ PB、QA $．规划要求：线段 $ PB、QA $ 上的所有点到点 $ O $ 的距离均不小于圆 $ O $ 的半径．已知点 $ A、B $ 到直线 $ l$ 的距离分别为 $AC$ 和 $BD$（$C、D$ 为垂足），测得 $AB=10,AC=6,BD=12$（单位：百米）．
（1）若道路 $PB$ 与桥 $AB$ 垂直，求道路 $PB$ 的长；
（2）在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路 $PB$ 和 $QA$ 的长度均为 $d$（单位：百米）．求当 $d$ 最小时，$P、Q$ 两点间的距离．		 2022-04-17 19:30:29
17127 5e4b787e210b280d36111254 高中 解答题 高考真题 已知矩阵 $A=\begin{bmatrix}
3&1\\2&2\end{bmatrix}$
（1）求 $A^2$；
（2）求矩阵 $A$ 的特征值．		 2022-04-17 19:28:29
17126 5e4b7900210b280d3611125c 高中 解答题 高考真题 在极坐标系中，已知两点 $A\left(3,\dfrac{\pi}{4}\right),B\left(\sqrt{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，直线 $l$ 的方程为 $\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=3$．
（1）求 $A,B$ 两点间的距离；（2）求点 $B$ 到直线 $l$ 的距离．		 2022-04-17 19:28:29
17119 5e44bb85210b280d37821fed 高中 解答题 高考真题 已知抛物线 $C:y^2=3x$ 的焦点为 $F$，斜率为 $\dfrac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A,B$，与 $x$ 轴的交点为 $P$．
（1）若 $|AF|+|BF|=4$，求 $l$ 的方程；
（2）若 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，求 $|AB|$．		 2022-04-17 19:24:29
17116 5e44c175210b280d37821ffa 高中 解答题 高考真题 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\\y=\dfrac{4t}{1+t^2}\end{cases}$（$t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$．
（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．		 2022-04-17 19:23:29
17110 5e426bcc210b280d37821f7d 高中 解答题 高考真题 已知点 $A(−2,0),B(2,0)$，动点 $M(x,y)$ 满足直线 $AM$ 与 $BM$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{2}$．记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$．
（1）求 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，点 $P$ 在第一象限，$PE\perp x$ 轴，垂足为 $E$，连结 $QE$ 并延长交 $C$ 于点 $G$．
（i）证明：$\triangle PQG$ 是直角三角形；
（ii）求 $\triangle PQG$ 面积的最大值．		 2022-04-17 19:19:29
17109 5e426c67210b280d36111030 高中 解答题 高考真题 在极坐标系中，$O$ 为极点，点 $M(\rho_0,\theta_0)(\rho_0>0)$ 在曲线 $C:\rho=4\sin \theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $OM$ 垂直，垂足为 $P$．
（1）当 $\theta_0=\dfrac{\pi}{3}$ 时，求 $\rho_0$ 及 $l$ 的极坐标方程；
（2）当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $OM$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程．		 2022-04-17 19:18:29
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