设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，左顶点为 $A$，上顶点为 $B$．已知 $\sqrt{3}|OA|=2|OB|$（$O$ 为原点）．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\dfrac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $OC\parallel AP$．求椭圆的方程．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\dfrac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $OC\parallel AP$．求椭圆的方程．
【难度】
【出处】
2019年高考天津卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）设椭圆的半焦距为 $c$，由已知有 $\sqrt{3}a=2b$，又由 $a^2=b^2+c^2$，消去 $b$ 得 $a^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2+c^2$，解得 $\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}$．
所以，椭圆的离心率为 $\dfrac{1}{2}$．
（II）由（I）知，$a=2c,b=\sqrt{c}$，故椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4c^2}+\dfrac{y^2}{3c^2}=1$．由题意，$F(-c,0)$，则直线 $l$ 的方程为 $y=\dfrac{3}{4}(x+c)$．点 $P$ 的坐标满足 $\begin{cases}\dfrac{x^2}{4c^2}+\dfrac{y^2}{3c^2}=1\\y=\dfrac{3}{4}(x+c)\end{cases}$ 消去 $y$ 并化简，得到 $7x^2+6cx-13c^2=0$，解得 $x_1=c,x_2=-\dfrac{13c}{7}$．代入到 $l$ 的方程，解得 $y_1=\dfrac{3}{2}c,y_2=-\dfrac{9}{14}c$．因为点 $P$ 在 $x$ 轴上方，所以 $P\left(c,\dfrac{3}{2}c\right)$．
由圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，可设 $C(4,t)$．因为 $OC\parallel AP$，且由（I）知 $A(-2c,0)$，故 $\dfrac{t}{4}=\dfrac{\frac{3}{2}c}{c+2c}$，解得 $t=2$．因为圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，所以圆的半径长为 $2$，又由圆 $C$ 与 $l$ 相切，得 $\dfrac{|\frac{3}{4}(4+c)-2|}{\sqrt{1+(\frac{3}{4})^2}}=2$，可得 $c=2$．
所以，椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$．
所以，椭圆的离心率为 $\dfrac{1}{2}$．
（II）由（I）知，$a=2c,b=\sqrt{c}$，故椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4c^2}+\dfrac{y^2}{3c^2}=1$．由题意，$F(-c,0)$，则直线 $l$ 的方程为 $y=\dfrac{3}{4}(x+c)$．点 $P$ 的坐标满足 $\begin{cases}\dfrac{x^2}{4c^2}+\dfrac{y^2}{3c^2}=1\\y=\dfrac{3}{4}(x+c)\end{cases}$ 消去 $y$ 并化简，得到 $7x^2+6cx-13c^2=0$，解得 $x_1=c,x_2=-\dfrac{13c}{7}$．代入到 $l$ 的方程，解得 $y_1=\dfrac{3}{2}c,y_2=-\dfrac{9}{14}c$．因为点 $P$ 在 $x$ 轴上方，所以 $P\left(c,\dfrac{3}{2}c\right)$．
由圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，可设 $C(4,t)$．因为 $OC\parallel AP$，且由（I）知 $A(-2c,0)$，故 $\dfrac{t}{4}=\dfrac{\frac{3}{2}c}{c+2c}$，解得 $t=2$．因为圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，所以圆的半径长为 $2$，又由圆 $C$ 与 $l$ 相切，得 $\dfrac{|\frac{3}{4}(4+c)-2|}{\sqrt{1+(\frac{3}{4})^2}}=2$，可得 $c=2$．
所以，椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$．
答案
解析
备注
