已知抛物线 $C:x^2=-2py$ 经过点 $(2,-1)$．
（I）求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程；
（II）设 $O$ 为原点，过抛物线 $C$ 的焦点作斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M,N$，直线 $y=-1$ 分别交直线 $OM,ON$ 于点 $A$ 和 $B$ 。求证：以 $AB$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点．
（I）求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程；
（II）设 $O$ 为原点，过抛物线 $C$ 的焦点作斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M,N$，直线 $y=-1$ 分别交直线 $OM,ON$ 于点 $A$ 和 $B$ 。求证：以 $AB$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点．
【难度】
【出处】
2019年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）由抛物线 $C:x^2=-2py$ 经过点 $(2,-1)$，得 $p=2$．
所以抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=-4y$，其准线方程为 $y=1$．
（II）抛物线 $C$ 的焦点为 $F(0,-1)$．
设直线 $l$ 的方程为 $y=kx-1(k\ne 0)$．
由 $\begin{cases}y=kx-1\\x^2=-4y\end{cases}$ 得 $x^2+4kx-4=0$．
设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则 $x_1x_2=-4$．
直线 $OM$ 的方程为 $y=\dfrac{y_1}{x_1}x$．
令 $y=-1$，得点 $A$ 的横坐标 $x_A=-\dfrac{x_1}{y_1}$．
同理得点 $B$ 的横坐标 $x_B=-\dfrac{x_2}{y_2}$．
设点 $D(0,n)$，则 $\overrightarrow{DA}=\left(-\dfrac{x_1}{y_1},-1-n\right),\overrightarrow{DB}=\left(-\dfrac{x_2}{y_2},-1-n\right)$．
$\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\dfrac{x_1x_2}{y_1y_2}+(n+1)^2$
$=\dfrac{x_1x_2}{(-\frac{x_1^2}{4})(-\frac{x_2^2}{4})}+(n+1)^2$
$=\dfrac{16}{x_1x_2}+(n+1)^2$
$=-4+(n+1)^2$
令 $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0$，即 $-4+(n+1)^2=0$，得 $n=1$ 或 $n=3$．
综上，以 $AB$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的定点 $(0,1)$ 和 $(0,-3)$．
所以抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=-4y$，其准线方程为 $y=1$．
（II）抛物线 $C$ 的焦点为 $F(0,-1)$．
设直线 $l$ 的方程为 $y=kx-1(k\ne 0)$．
由 $\begin{cases}y=kx-1\\x^2=-4y\end{cases}$ 得 $x^2+4kx-4=0$．
设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则 $x_1x_2=-4$．
直线 $OM$ 的方程为 $y=\dfrac{y_1}{x_1}x$．
令 $y=-1$，得点 $A$ 的横坐标 $x_A=-\dfrac{x_1}{y_1}$．
同理得点 $B$ 的横坐标 $x_B=-\dfrac{x_2}{y_2}$．
设点 $D(0,n)$，则 $\overrightarrow{DA}=\left(-\dfrac{x_1}{y_1},-1-n\right),\overrightarrow{DB}=\left(-\dfrac{x_2}{y_2},-1-n\right)$．
$\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\dfrac{x_1x_2}{y_1y_2}+(n+1)^2$
$=\dfrac{x_1x_2}{(-\frac{x_1^2}{4})(-\frac{x_2^2}{4})}+(n+1)^2$
$=\dfrac{16}{x_1x_2}+(n+1)^2$
$=-4+(n+1)^2$
令 $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0$，即 $-4+(n+1)^2=0$，得 $n=1$ 或 $n=3$．
综上，以 $AB$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的定点 $(0,1)$ 和 $(0,-3)$．
答案
解析
备注
