在极坐标系中，$O$ 为极点，点 $M(\rho_0,\theta_0)(\rho_0>0)$ 在曲线 $C:\rho=4\sin \theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $OM$ 垂直，垂足为 $P$．
（1）当 $\theta_0=\dfrac{\pi}{3}$ 时，求 $\rho_0$ 及 $l$ 的极坐标方程；
（2）当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $OM$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程．
（1）当 $\theta_0=\dfrac{\pi}{3}$ 时，求 $\rho_0$ 及 $l$ 的极坐标方程；
（2）当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $OM$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程．
【难度】
【出处】
2019年高考全国II卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）因为 $M(\rho_0,\theta_0)$ 在 $C$ 上，当 $\theta_3=\dfrac{\pi}{3}$ 时，$\rho_0=4\sin \dfrac{\pi}{3}=2\sqrt{3}$．
由已知得 $|OP|=|OA|\cos\dfrac{\pi}{3}=2$．
设 $Q(\rho,\theta)$ 为 $l$ 上除 $P$ 的任意一点．在 $Rt\triangle OPQ$ 中 $\rho\cos\theta\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=|OP|=2$，
经检验，点 $P\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right)$ 在曲线 $\rho\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=2$ 上．
所以，$l$ 的极坐标方程为 $\rho\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=2$．
（2）设 $P(\rho,\theta)$，在 $Rt\triangle OAP$ 中，$|OP|=|OA|\cos\theta=4\cos\theta$ 即 $\rho=4\cos\theta$．
因为 $P$ 在线段 $OM$ 上，且 $AP\perp AM$，故 $\theta$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]$．
所以，$P$ 点轨迹的极坐标方程为 $\rho=4\cos\theta,\theta\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]$．
由已知得 $|OP|=|OA|\cos\dfrac{\pi}{3}=2$．
设 $Q(\rho,\theta)$ 为 $l$ 上除 $P$ 的任意一点．在 $Rt\triangle OPQ$ 中 $\rho\cos\theta\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=|OP|=2$，
经检验，点 $P\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right)$ 在曲线 $\rho\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=2$ 上．
所以，$l$ 的极坐标方程为 $\rho\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=2$．
（2）设 $P(\rho,\theta)$，在 $Rt\triangle OAP$ 中，$|OP|=|OA|\cos\theta=4\cos\theta$ 即 $\rho=4\cos\theta$．
因为 $P$ 在线段 $OM$ 上，且 $AP\perp AM$，故 $\theta$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]$．
所以，$P$ 点轨迹的极坐标方程为 $\rho=4\cos\theta,\theta\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]$．
答案
解析
备注
