如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_1(–1、0),F_2(1,0)$．过 $F_2$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_2:(x-1)^2+y^2=4a^2$ 交于点 $A$，与椭圆 $C$ 交于点 $D$．连结 $AF_1$ 并延长交圆 $F_2$ 于点 $B$，连结 $BF_2$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$，连结 $DF_1$．已知 $DF_1=\dfrac{5}{2}$．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求点 $E$ 的坐标．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求点 $E$ 的坐标．
【难度】
【出处】
2019年高考江苏卷
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设椭圆 $C$ 的焦距为 $2c$．
因为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$，所以 $F_1F_2=2,c=1$．
又因为 $DF_1=\dfrac{5}{2}$，$AF_2\perp x$ 轴，所以 $DF_2=\sqrt{DF_1^2-F_1F_2^2}=\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-2^2}=\dfrac{3}{2}$，
因此 $2a=DF_1+DF_2=4$，从而 $a=2$．
由 $b^2=a^2-c^2$，得 $b^2=3$．
因此，椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$．
（2）解法一：
由（1）知，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1,a=2$，
因为 $AF_2\perp x$ 轴，所以点 $A$ 的横坐标为 $1$．
将 $x=1$ 代入圆 $F_2$ 的方程 $(x-1)^2+y^2=16$，解得 $y=\pm 4$．
因为点 $A$ 在 $x$ 轴上方，所以 $A(1,4)$．
又 $F_1(-1,0)$，所以直线 $AF_1:y=2x+2$．
由 $\begin{cases}y=2x+2\\(x+1)^2+y^2=16\end{cases}$，得 $5x^2+6x-11=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-\dfrac{11}{5}$．
将 $x=-\dfrac{11}{5}$ 代入 $y=2x+2$，得 $y=-\dfrac{12}{5}$，
因此 $B\left(-\dfrac{11}{5},-\dfrac{12}{5}\right)$．又 $F_2(1,0)$，所以直线 $BF_2:y=\dfrac{3}{4}(x-1)$．
由 $\begin{cases}y=\dfrac{3}{4}(x-1)\\\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\end{cases}$，得 $7x^2-6x-13=0$，解得 $x=-1$ 或 $x=\dfrac{13}{7}$．
又因为 $E$ 是线段 $BF_2$ 与椭圆的交点，所以 $x=-1$．
将 $x=-1$ 代入 $y=\dfrac{3}{4}(x-1)$，得 $y=-\dfrac{3}{2}$．因此 $E\left(-1,-\dfrac{3}{2}\right)$．
解法二：
由（1）知，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$．如图，连结 $EF_1$．
因为 $BF_2=2a,EF_1+EF_2=2a$，所以 $EF_1=EB$，从而 $\angle BF_1E=\angle B$．
因为 $F_2A=F_2B$，所以 $\angle A=\angle B$，
所以 $\angle A=\angle BF_1E$，从而 $EF_1\parallel F_2A$．
因为 $AF_2\perp x$ 轴，所以 $EF_1\perp x$ 轴．
因为 $F_1(-1,0)$，由 $\begin{cases}x=-1\\\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\end{cases}$，得 $y=\pm\dfrac{3}{2}$．
又因为 $E$ 是线段 $BF_2$ 与椭圆的交点，所以 $y=-\dfrac{3}{2}$．
因此 $E\left(-1,-\dfrac{3}{2}\right)$．
因为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$，所以 $F_1F_2=2,c=1$．
又因为 $DF_1=\dfrac{5}{2}$，$AF_2\perp x$ 轴，所以 $DF_2=\sqrt{DF_1^2-F_1F_2^2}=\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-2^2}=\dfrac{3}{2}$，
因此 $2a=DF_1+DF_2=4$，从而 $a=2$．
由 $b^2=a^2-c^2$，得 $b^2=3$．
因此，椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$．
（2）解法一：
由（1）知，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1,a=2$，
因为 $AF_2\perp x$ 轴，所以点 $A$ 的横坐标为 $1$．
将 $x=1$ 代入圆 $F_2$ 的方程 $(x-1)^2+y^2=16$，解得 $y=\pm 4$．
因为点 $A$ 在 $x$ 轴上方，所以 $A(1,4)$．
又 $F_1(-1,0)$，所以直线 $AF_1:y=2x+2$．
由 $\begin{cases}y=2x+2\\(x+1)^2+y^2=16\end{cases}$，得 $5x^2+6x-11=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-\dfrac{11}{5}$．
将 $x=-\dfrac{11}{5}$ 代入 $y=2x+2$，得 $y=-\dfrac{12}{5}$，
因此 $B\left(-\dfrac{11}{5},-\dfrac{12}{5}\right)$．又 $F_2(1,0)$，所以直线 $BF_2:y=\dfrac{3}{4}(x-1)$．
由 $\begin{cases}y=\dfrac{3}{4}(x-1)\\\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\end{cases}$，得 $7x^2-6x-13=0$，解得 $x=-1$ 或 $x=\dfrac{13}{7}$．
又因为 $E$ 是线段 $BF_2$ 与椭圆的交点，所以 $x=-1$．
将 $x=-1$ 代入 $y=\dfrac{3}{4}(x-1)$，得 $y=-\dfrac{3}{2}$．因此 $E\left(-1,-\dfrac{3}{2}\right)$．
解法二：
由（1）知，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$．如图，连结 $EF_1$．
因为 $BF_2=2a,EF_1+EF_2=2a$，所以 $EF_1=EB$，从而 $\angle BF_1E=\angle B$．
因为 $F_2A=F_2B$，所以 $\angle A=\angle B$，
所以 $\angle A=\angle BF_1E$，从而 $EF_1\parallel F_2A$．
因为 $AF_2\perp x$ 轴，所以 $EF_1\perp x$ 轴．
因为 $F_1(-1,0)$，由 $\begin{cases}x=-1\\\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\end{cases}$，得 $y=\pm\dfrac{3}{2}$．
又因为 $E$ 是线段 $BF_2$ 与椭圆的交点，所以 $y=-\dfrac{3}{2}$．
因此 $E\left(-1,-\dfrac{3}{2}\right)$．
答案
解析
备注
