已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上的点，$O$ 为坐标原点．
（1）若 $\triangle POF_2$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；
（2）如果存在点 $P$，使得 $PF_1\perp PF_2$，且 $\triangle F_1PF_2$ 的面积等于 $16$，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围．
（1）若 $\triangle POF_2$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；
（2）如果存在点 $P$，使得 $PF_1\perp PF_2$，且 $\triangle F_1PF_2$ 的面积等于 $16$，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2019年高考全国II卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）连结 $PF_1$．由 $\triangle POF_2$ 为等边三角形可知在 $\triangle F_1PF_2$ 中，$\angle F_1PF_2=90^\circ,|PF_2|=c,|PF_1|=\sqrt{3}c$，于是 $2\alpha=|PF_1|+|PF_2|=(\sqrt{3}+1)c$，故 $C$ 的离心率 $e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{3}-1$．
（2）由题意可知，满足条件的点 $P(x,y)$ 存在当且仅当 $\dfrac{1}{2}|y|\cdot 2c=16,\dfrac{y}{x+c}\cdot\dfrac{y}{x-c}=-1,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，即
$c|y|=16$ ①
$x^2+y^2=c^2$ ②
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ③
由 ②③ 及 $a^2=b^2+c^2$ 得 $y^2=\dfrac{b^4}{c^2}$，又由 ① 知 $y^2=\dfrac{16^2}{c^2}$，故 $b=4$．
由 ②③ 得 $x^2=\dfrac{a^2}{c^2}(c^2-b^2)$，所以 $c^2\geqslant b^2$，从而 $a^2=b^2+c^2\geqslant 2b^2=32$，故 $a\geqslant 4\sqrt{2}$．
当 $b=4,a\geqslant 4\sqrt{2}$ 时，存在满足条件的点 $P$．
所以 $b=4$，$a$ 的取值范围为 $[4\sqrt{2},+\infty)$．
（2）由题意可知，满足条件的点 $P(x,y)$ 存在当且仅当 $\dfrac{1}{2}|y|\cdot 2c=16,\dfrac{y}{x+c}\cdot\dfrac{y}{x-c}=-1,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，即
$c|y|=16$ ①
$x^2+y^2=c^2$ ②
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ③
由 ②③ 及 $a^2=b^2+c^2$ 得 $y^2=\dfrac{b^4}{c^2}$，又由 ① 知 $y^2=\dfrac{16^2}{c^2}$，故 $b=4$．
由 ②③ 得 $x^2=\dfrac{a^2}{c^2}(c^2-b^2)$，所以 $c^2\geqslant b^2$，从而 $a^2=b^2+c^2\geqslant 2b^2=32$，故 $a\geqslant 4\sqrt{2}$．
当 $b=4,a\geqslant 4\sqrt{2}$ 时，存在满足条件的点 $P$．
所以 $b=4$，$a$ 的取值范围为 $[4\sqrt{2},+\infty)$．
答案
解析
备注
