在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\\y=\dfrac{4t}{1+t^2}\end{cases}$（$t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$．
（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．
（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．
【难度】
【出处】
2019年高考全国I卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）因为 $-1<\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\leqslant 1$，且 $x^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2=\left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2+\dfrac{4t^2}{(1+t^2)^2}=1$，所以 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1(x\ne 1)$．
$l$ 的直角坐标方程为 $2x+\sqrt{3}y+11=0$．
（2）由（1）可设 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\cos\alpha\\y=2\sin\alpha\end{cases}$（$\alpha$ 为参数，$-\pi<\alpha<\pi$）．
$C$ 上的点到 $l$ 的距离为 $\dfrac{|2\cos\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha+11|}{\sqrt{7}}=\dfrac{4\cos(\alpha-\frac{\pi}{3})+11}{\sqrt{7}}$．
当 $\alpha=-\dfrac{2\pi}{3}$ 时，$4\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{3}\right)+11$ 取得最小值 $7$，故 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值为 $\sqrt{7}$．
$l$ 的直角坐标方程为 $2x+\sqrt{3}y+11=0$．
（2）由（1）可设 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\cos\alpha\\y=2\sin\alpha\end{cases}$（$\alpha$ 为参数，$-\pi<\alpha<\pi$）．
$C$ 上的点到 $l$ 的距离为 $\dfrac{|2\cos\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha+11|}{\sqrt{7}}=\dfrac{4\cos(\alpha-\frac{\pi}{3})+11}{\sqrt{7}}$．
当 $\alpha=-\dfrac{2\pi}{3}$ 时，$4\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{3}\right)+11$ 取得最小值 $7$，故 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值为 $\sqrt{7}$．
答案
解析
备注
