如图，一个湖的边界是圆心为 $O$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $l$，湖上有桥 $AB$（$ AB $ 是圆 $ O $ 的直径）．规划在公路 $ l $ 上选两个点 $ P、Q $，并修建两段直线型道路 $ PB、QA $．规划要求：线段 $ PB、QA $ 上的所有点到点 $ O $ 的距离均不小于圆 $ O $ 的半径．已知点 $ A、B $ 到直线 $ l$ 的距离分别为 $AC$ 和 $BD$（$C、D$ 为垂足），测得 $AB=10,AC=6,BD=12$（单位：百米）．
（1）若道路 $PB$ 与桥 $AB$ 垂直，求道路 $PB$ 的长；
（2）在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路 $PB$ 和 $QA$ 的长度均为 $d$（单位：百米）．求当 $d$ 最小时，$P、Q$ 两点间的距离．
（1）若道路 $PB$ 与桥 $AB$ 垂直，求道路 $PB$ 的长；
（2）在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路 $PB$ 和 $QA$ 的长度均为 $d$（单位：百米）．求当 $d$ 最小时，$P、Q$ 两点间的距离．
【难度】
【出处】
2019年高考江苏卷
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）过 $A$ 作 $AE\perp BD$，垂足为 $E$．
由已知条件得，四边形 $ACDE$ 为矩形，$DE=BE=AC=6,AE=CD=8$．
因为 $PB\perp AB$，
所以 $\cos \angle PBD=\sin\angle ABE=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$．
所以 $PB=\dfrac{BD}{\cos\angle PBD}=\dfrac{12}{\frac{4}{5}}=15$．
因此道路 $PB$ 的长为 $15$（百米）．
图1
（2）① 若 $P$ 在 $D$ 处，由（1）可得 $E$ 在圆上，则线段 $BE$ 上的点（除 $B,E$）到点 $O$ 的距离均小于圆 $O$ 的半径，所以 $P$ 选在 $D$ 处不满足规划要求．
② 若 $Q$ 在 $D$ 处，连结 $AD$，由（1）知 $AD=\sqrt{AE^2+ED^2}=10$，
从而 $\cos\angle BAD=\dfrac{AD^2+AB^2-BD^2}{2AD\cdot AB}$，所以 $\angle BAD$ 为锐角．
所以线段 $AD$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径．
因此，$Q$ 选在 $D$ 处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
（3）先讨论点 $P$ 的位置．
当 $\angle OBP<90^\circ$ 时，线段 $PB$ 上存在点到点 $ O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 不符合规划要求；
当 $\angle OBP\geqslant 90^\circ$ 时，对线段 $PB$ 上任意一点 $F$，$OF\geqslant OB$，即线段 $PB$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 符合规划要求．
设 $P_1$ 为 $l$ 上一点，且 $P_1B\perp AB$，由（1）知，$P_1B=15$，
此时 $P_1D=P_1B\sin\angle P_1BD=P_1B\cos\angle EBA=15\times \dfrac{3}{5}=9$；
当 $\angle OBP>90^\circ$ 时，在 $\triangle PP_1B$ 中，$PB>P_1B=15$．
由上可知，$d\geqslant 15$．
再讨论点 $Q$ 的位置．
由（2）知，要使得 $QA\geqslant 15$，点 $Q$ 只有位于点 $C$ 的右侧，才能符合规划要求．当 $QA=15$ 时，$CQ=\sqrt{QA^2-AC^2}=\sqrt{15^2-6^2}=3\sqrt{21}$．此时，线段 $QA$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径．
综上，当 $PB\perp AB$，点 $Q$ 位于点 $C$ 右侧，且 $CQ=3\sqrt{21}$ 时，$d$ 最小，此时 $P,Q$ 两点间的距离 $PQ=PD+CD+CQ=17+3\sqrt{21}$．
因此，$d$ 最小时，$P,Q$ 两点间的距离为 $17+3\sqrt{21}$（百米）．
解法二：
（1）如图，过 $O$ 作 $OH\perp l$，垂足为 $H$．
以 $O$ 为坐标原点，直线 $OH$ 为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．
图2
因为 $BD=12,AC=6$，所以 $OH=9$，直线 $l$ 的方程为 $y=9$，点 $A,B$ 的纵坐标分别为 $3,−3$．
因为 $AB$ 为圆 $O$ 的直径，$AB=10$，所以圆 $O$ 的方程为 $x^2+y^2=25$．
从而 $A(4,3),B(−4,−3)$，直线 $AB$ 的斜率为 $-\dfrac{4}{3}$．
因为 $PB\perp AB$，所以直线 $PB$ 的斜率为 $-\dfrac{4}{3}$，
直线 $PB$ 的方程为 $y=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{25}{3}$．
所以 $P(−13,9),PB=\sqrt{(-13+4)^2+(9+3)^2}=15$．
因此道路 $PB$ 的长为 $15$（百米）．
（2）① 若 $P$ 在 $D$ 处，取线段 $BD$ 上一点 $E(−4,0)$，则 $EO=4<5$，所以 $P$ 选在 $D$ 处不满足规划要求．
② 若 $Q$ 在 $D$ 处，连结 $AD$，由（1）知 $D(−4,9)$，又 $A(4,3)$，
所以线段 $AD:y=-\dfrac{3}{4}x+6(-4\leqslant x\leqslant x)$．
在线段 $AD$ 上取点 $M\left(3,\dfrac{15}{4}\right)$，因为 $OM=\sqrt{3^2+\left(\dfrac{15}{4}\right)}<\sqrt{3^2+4^2}=5$，
所以线段 $AD$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径．
因此 $Q$ 选在 $D$ 处也不满足规划要求．
综上，$P$ 和 $Q$ 均不能选在 $D$ 处．
（3）先讨论点 $P$ 的位置．
当 $\angle OBP<90^\circ$ 时，线段 $PB$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 不符合规划要求；
当 $\angle OBP\geqslant 90^\circ$ 时，对线段 $PB$ 上任意一点 $F$，$OF\geqslant OB$，即线段 $PB$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 符合规划要求．
设 $P_1$ 为 $l$ 上一点，且 $P_1B\perp AB$，由（1）知，$P_1B=15$，此时 $P_1(−13,9)$；
当 $\angle OBP>90^\circ$ 时，在 $\triangle PP_1B$ 中，$PB>P_1B=15$．
由上可知，$d\geqslant 15$．
再讨论点 $Q$ 的位置．
由（2）知，要使得 $QA\geqslant 15$，点 $Q$ 只有位于点 $C$ 的右侧，才能符合规划要求．当 $QA=15$ 时，设 $Q(a,9)$，由 $AQ=\sqrt{(a-4)^2+(9-3)^2}=15(a>4)$，得 $a=4+3\sqrt{21}$，所以 $Q(4+3\sqrt{21},9)$，此时，线段 $QA$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径．
综上，当 $P(−13,9),Q(4+3\sqrt{21},9)$ 时，$d$ 最小，此时 $P,Q$ 两点间的距离 $PQ=4+3\sqrt{21}-(-13)=17+3\sqrt{21}$．
因此，$d$ 最小时，$P,Q$ 两点间的距离为 $17+3\sqrt{21}$（百米）．
由已知条件得，四边形 $ACDE$ 为矩形，$DE=BE=AC=6,AE=CD=8$．
因为 $PB\perp AB$，
所以 $\cos \angle PBD=\sin\angle ABE=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$．
所以 $PB=\dfrac{BD}{\cos\angle PBD}=\dfrac{12}{\frac{4}{5}}=15$．
因此道路 $PB$ 的长为 $15$（百米）．
图1
（2）① 若 $P$ 在 $D$ 处，由（1）可得 $E$ 在圆上，则线段 $BE$ 上的点（除 $B,E$）到点 $O$ 的距离均小于圆 $O$ 的半径，所以 $P$ 选在 $D$ 处不满足规划要求．
② 若 $Q$ 在 $D$ 处，连结 $AD$，由（1）知 $AD=\sqrt{AE^2+ED^2}=10$，
从而 $\cos\angle BAD=\dfrac{AD^2+AB^2-BD^2}{2AD\cdot AB}$，所以 $\angle BAD$ 为锐角．
所以线段 $AD$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径．
因此，$Q$ 选在 $D$ 处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
（3）先讨论点 $P$ 的位置．
当 $\angle OBP<90^\circ$ 时，线段 $PB$ 上存在点到点 $ O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 不符合规划要求；
当 $\angle OBP\geqslant 90^\circ$ 时，对线段 $PB$ 上任意一点 $F$，$OF\geqslant OB$，即线段 $PB$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 符合规划要求．
设 $P_1$ 为 $l$ 上一点，且 $P_1B\perp AB$，由（1）知，$P_1B=15$，
此时 $P_1D=P_1B\sin\angle P_1BD=P_1B\cos\angle EBA=15\times \dfrac{3}{5}=9$；
当 $\angle OBP>90^\circ$ 时，在 $\triangle PP_1B$ 中，$PB>P_1B=15$．
由上可知，$d\geqslant 15$．
再讨论点 $Q$ 的位置．
由（2）知，要使得 $QA\geqslant 15$，点 $Q$ 只有位于点 $C$ 的右侧，才能符合规划要求．当 $QA=15$ 时，$CQ=\sqrt{QA^2-AC^2}=\sqrt{15^2-6^2}=3\sqrt{21}$．此时，线段 $QA$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径．
综上，当 $PB\perp AB$，点 $Q$ 位于点 $C$ 右侧，且 $CQ=3\sqrt{21}$ 时，$d$ 最小，此时 $P,Q$ 两点间的距离 $PQ=PD+CD+CQ=17+3\sqrt{21}$．
因此，$d$ 最小时，$P,Q$ 两点间的距离为 $17+3\sqrt{21}$（百米）．
解法二：
（1）如图，过 $O$ 作 $OH\perp l$，垂足为 $H$．
以 $O$ 为坐标原点，直线 $OH$ 为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．
图2
因为 $BD=12,AC=6$，所以 $OH=9$，直线 $l$ 的方程为 $y=9$，点 $A,B$ 的纵坐标分别为 $3,−3$．
因为 $AB$ 为圆 $O$ 的直径，$AB=10$，所以圆 $O$ 的方程为 $x^2+y^2=25$．
从而 $A(4,3),B(−4,−3)$，直线 $AB$ 的斜率为 $-\dfrac{4}{3}$．
因为 $PB\perp AB$，所以直线 $PB$ 的斜率为 $-\dfrac{4}{3}$，
直线 $PB$ 的方程为 $y=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{25}{3}$．
所以 $P(−13,9),PB=\sqrt{(-13+4)^2+(9+3)^2}=15$．
因此道路 $PB$ 的长为 $15$（百米）．
（2）① 若 $P$ 在 $D$ 处，取线段 $BD$ 上一点 $E(−4,0)$，则 $EO=4<5$，所以 $P$ 选在 $D$ 处不满足规划要求．
② 若 $Q$ 在 $D$ 处，连结 $AD$，由（1）知 $D(−4,9)$，又 $A(4,3)$，
所以线段 $AD:y=-\dfrac{3}{4}x+6(-4\leqslant x\leqslant x)$．
在线段 $AD$ 上取点 $M\left(3,\dfrac{15}{4}\right)$，因为 $OM=\sqrt{3^2+\left(\dfrac{15}{4}\right)}<\sqrt{3^2+4^2}=5$，
所以线段 $AD$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径．
因此 $Q$ 选在 $D$ 处也不满足规划要求．
综上，$P$ 和 $Q$ 均不能选在 $D$ 处．
（3）先讨论点 $P$ 的位置．
当 $\angle OBP<90^\circ$ 时，线段 $PB$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 不符合规划要求；
当 $\angle OBP\geqslant 90^\circ$ 时，对线段 $PB$ 上任意一点 $F$，$OF\geqslant OB$，即线段 $PB$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 符合规划要求．
设 $P_1$ 为 $l$ 上一点，且 $P_1B\perp AB$，由（1）知，$P_1B=15$，此时 $P_1(−13,9)$；
当 $\angle OBP>90^\circ$ 时，在 $\triangle PP_1B$ 中，$PB>P_1B=15$．
由上可知，$d\geqslant 15$．
再讨论点 $Q$ 的位置．
由（2）知，要使得 $QA\geqslant 15$，点 $Q$ 只有位于点 $C$ 的右侧，才能符合规划要求．当 $QA=15$ 时，设 $Q(a,9)$，由 $AQ=\sqrt{(a-4)^2+(9-3)^2}=15(a>4)$，得 $a=4+3\sqrt{21}$，所以 $Q(4+3\sqrt{21},9)$，此时，线段 $QA$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径．
综上，当 $P(−13,9),Q(4+3\sqrt{21},9)$ 时，$d$ 最小，此时 $P,Q$ 两点间的距离 $PQ=4+3\sqrt{21}-(-13)=17+3\sqrt{21}$．
因此，$d$ 最小时，$P,Q$ 两点间的距离为 $17+3\sqrt{21}$（百米）．
答案
解析
备注
