已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$，且经过点 $A(0,1)$．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设 $O$ 为原点，直线 $l"y=kx+t(t\ne \pm 1)$ 与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P,Q$，直线 $AP$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，若 $|OM|\cdot |ON|=2$，求证：直线 $l$ 经过定点．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设 $O$ 为原点，直线 $l"y=kx+t(t\ne \pm 1)$ 与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P,Q$，直线 $AP$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，若 $|OM|\cdot |ON|=2$，求证：直线 $l$ 经过定点．
【难度】
【出处】
2019年高考北京卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）由题意得，$b^2=1,c=1$．
所以 $a^2=b^2+c^2=2$．
所以椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$．
（II）设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，
则直线 $AP$ 的方程为 $y=\dfrac{y_1-1}{x_1}x+1$．
令 $y=0$，得点 $M$ 的横坐标 $x_M=-\dfrac{x_1}{y_1-1}$．
又 $y_1=kx_1+t$，从而 $|OM|=|x_M|=\left|\dfrac{x_1}{kx_1+t-1}\right|$．
同理，$|ON|=\left|\dfrac{x_2}{kx_2+t-1}\right|$．
由 $\begin{cases}y=kx+t\\\dfrac{x^2}{2}+y^2=1\end{cases}$ 得 $(1+2k^2)x^2+4ktx+2t^2-2=0$．
则 $x_1+x_2=-\dfrac{4kt}{1+2k^2},x_1x_2=\dfrac{2t^2-2}{1+2k^2}$．
所以 $|OM|\cdot|ON|=\left|\dfrac{x_1}{kx_1+t-1}\right|\cdot \left|\dfrac{x_2}{kx_2+t-1}\right|$
$=\left|\dfrac{x_1x_2}{k^2x_1x_2+k(t-1)(x_1+x_2)+(1-t)^2}\right|$
$=\left|\dfrac{\frac{2t^2-2}{1+2k^2}}{k^2\cdot \frac{2t^2-2}{1+2k^2}+k(t-1)\cdot(-\frac{4kt}{1+2k^2})+(t-1)^2}\right|$
$=2\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|$．
又 $|OM|\cdot |ON|=2$，所以 $2\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|=2$．
解得 $t=0$，所以直线 $l$ 经过定点 $(0,0)$．
所以 $a^2=b^2+c^2=2$．
所以椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$．
（II）设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，
则直线 $AP$ 的方程为 $y=\dfrac{y_1-1}{x_1}x+1$．
令 $y=0$，得点 $M$ 的横坐标 $x_M=-\dfrac{x_1}{y_1-1}$．
又 $y_1=kx_1+t$，从而 $|OM|=|x_M|=\left|\dfrac{x_1}{kx_1+t-1}\right|$．
同理，$|ON|=\left|\dfrac{x_2}{kx_2+t-1}\right|$．
由 $\begin{cases}y=kx+t\\\dfrac{x^2}{2}+y^2=1\end{cases}$ 得 $(1+2k^2)x^2+4ktx+2t^2-2=0$．
则 $x_1+x_2=-\dfrac{4kt}{1+2k^2},x_1x_2=\dfrac{2t^2-2}{1+2k^2}$．
所以 $|OM|\cdot|ON|=\left|\dfrac{x_1}{kx_1+t-1}\right|\cdot \left|\dfrac{x_2}{kx_2+t-1}\right|$
$=\left|\dfrac{x_1x_2}{k^2x_1x_2+k(t-1)(x_1+x_2)+(1-t)^2}\right|$
$=\left|\dfrac{\frac{2t^2-2}{1+2k^2}}{k^2\cdot \frac{2t^2-2}{1+2k^2}+k(t-1)\cdot(-\frac{4kt}{1+2k^2})+(t-1)^2}\right|$
$=2\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|$．
又 $|OM|\cdot |ON|=2$，所以 $2\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|=2$．
解得 $t=0$，所以直线 $l$ 经过定点 $(0,0)$．
答案
解析
备注
