已知点 $A,B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，$|AB|=4$，$\odot M$ 过点 $A,B$ 且与直线 $x+2=0$ 相切．
（1）若 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上，求 $\odot M$ 的半径；
（2）是否存在定点 $P$，使得当 $A$ 运动时，$|MA|-|MP|$ 为定值？并说明理由．
（1）若 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上，求 $\odot M$ 的半径；
（2）是否存在定点 $P$，使得当 $A$ 运动时，$|MA|-|MP|$ 为定值？并说明理由．
【难度】
【出处】
2019年高考全国I卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）因为 $\odot M$ 过点 $A,B$，所以圆心 $M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上．由已知 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上，且 $A,B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，所以 $M$ 在直线 $y=x$ 上，故可设 $M(a,a)$．
因为 $\odot M$ 与直线 $x+2=0$ 相切，所以 $\odot M$ 的半径为 $r=|a+2|$．
由已知得 $|AO|=2$，又 $\overrightarrow{MO}\perp \overrightarrow{AO}$，故可得 $2a^2+4=(a+2)^2$，解得 $a=0$ 或 $a=4$．
故 $M$ 的半径 $r=2$ 或 $r=6$．
（2）存在定点 $P(1,0)$，使得 $|MA|-|MP|$ 为定值．
理由如下：
设 $M(x,y)$，由已知得 $\odot M$ 的半径为 $r=|x+2|,|AO|=2$．
由于 $\overrightarrow{MO}\perp \overrightarrow{AO}$，故可得 $x^2+y^2+4=(x+2)^2$，化简得 $M$ 的轨迹方程为 $y^2=4x$．
因为曲线 $C:y^2=4x$ 是以点 $P(1,0)$ 为焦点，以直线 $x=-1$ 为准线的抛物线，所以 $|MP|=x+1$．
因为 $|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1$，所以存在满足条件的定点 $P$．
因为 $\odot M$ 与直线 $x+2=0$ 相切，所以 $\odot M$ 的半径为 $r=|a+2|$．
由已知得 $|AO|=2$，又 $\overrightarrow{MO}\perp \overrightarrow{AO}$，故可得 $2a^2+4=(a+2)^2$，解得 $a=0$ 或 $a=4$．
故 $M$ 的半径 $r=2$ 或 $r=6$．
（2）存在定点 $P(1,0)$，使得 $|MA|-|MP|$ 为定值．
理由如下：
设 $M(x,y)$，由已知得 $\odot M$ 的半径为 $r=|x+2|,|AO|=2$．
由于 $\overrightarrow{MO}\perp \overrightarrow{AO}$，故可得 $x^2+y^2+4=(x+2)^2$，化简得 $M$ 的轨迹方程为 $y^2=4x$．
因为曲线 $C:y^2=4x$ 是以点 $P(1,0)$ 为焦点，以直线 $x=-1$ 为准线的抛物线，所以 $|MP|=x+1$．
因为 $|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1$，所以存在满足条件的定点 $P$．
答案
解析
备注
