设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，上顶点为 $B$，已知椭圆的短轴长为 $4$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上下顶点，点 $M$ 为直线 $PB$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上．若 $|ON|=|OF|$（$O$ 为原点），且 $OP\perp MN$，求直线 $PB$ 的斜率．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上下顶点，点 $M$ 为直线 $PB$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上．若 $|ON|=|OF|$（$O$ 为原点），且 $OP\perp MN$，求直线 $PB$ 的斜率．
【难度】
【出处】
2019年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）设椭圆的半焦距为 $c$，依题意，$2b=4,\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，又 $a^2=b^2+c^2$，可得 $a=\sqrt{5},b=2,c=1$．
所以，椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1$．
（II）由题意，设 $P(x_P,y_P)(x_P\ne 0),M(x_M,0)$．设直线 $PB$ 的斜率为 $k(k\ne 0)$，又 $B(0,2)$，则直线 $PB$ 的方程为 $y=kx+2$，与椭圆方程联立 $\begin{cases}y=kx+2\\\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1\end{cases}$ 整理得 $(4+5k^2)x^2+20kx=0$，可得 $x_P=\dfrac{20k}{4+5k^2}$，代入 $y=kx+2$ 得 $y_P=\dfrac{8-10k^2}{4+5k^2}$，进而直线 $OP$ 的斜率 $\dfrac{y_P}{x_P}=\dfrac{4-5k^2}{-10k}$，在 $y=kx+2$ 中，令 $y=0$，得 $x_M=-\dfrac{2}{k}$．由题意得 $N(0,-1)$，所以直线 $MN$ 的斜率为 $-\dfrac{k}{2}$．由 $OP\perp MN$，得 $\dfrac{4-5k^2}{-10k}\cdot\left(-\dfrac{k}{2}\right)=-1$，化简得 $k^2=\dfrac{24}{5}$，从而 $k=\pm \dfrac{2\sqrt{30}}{5}$．
所以，直线 $PB$ 的斜率为 $\dfrac{2\sqrt{30}}{5}$ 或 $-\dfrac{2\sqrt{30}}{5}$．
所以，椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1$．
（II）由题意，设 $P(x_P,y_P)(x_P\ne 0),M(x_M,0)$．设直线 $PB$ 的斜率为 $k(k\ne 0)$，又 $B(0,2)$，则直线 $PB$ 的方程为 $y=kx+2$，与椭圆方程联立 $\begin{cases}y=kx+2\\\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1\end{cases}$ 整理得 $(4+5k^2)x^2+20kx=0$，可得 $x_P=\dfrac{20k}{4+5k^2}$，代入 $y=kx+2$ 得 $y_P=\dfrac{8-10k^2}{4+5k^2}$，进而直线 $OP$ 的斜率 $\dfrac{y_P}{x_P}=\dfrac{4-5k^2}{-10k}$，在 $y=kx+2$ 中，令 $y=0$，得 $x_M=-\dfrac{2}{k}$．由题意得 $N(0,-1)$，所以直线 $MN$ 的斜率为 $-\dfrac{k}{2}$．由 $OP\perp MN$，得 $\dfrac{4-5k^2}{-10k}\cdot\left(-\dfrac{k}{2}\right)=-1$，化简得 $k^2=\dfrac{24}{5}$，从而 $k=\pm \dfrac{2\sqrt{30}}{5}$．
所以，直线 $PB$ 的斜率为 $\dfrac{2\sqrt{30}}{5}$ 或 $-\dfrac{2\sqrt{30}}{5}$．
答案
解析
备注
