题目 （12分）如图，在正 $\triangle ABC$ 中，点 $D$、$E$ 分别在边 $AC$、$AB$ 上，且 $AD=\dfrac{1}{3}AC$，$AE=\dfrac{2}{3}AB$，$BD$、$CE$ 相交于点 $F$． 问题1 求证：$A$、$E$、$F$、$D$ 四点共圆； 答案1 略 解析1 因为 $AE=\dfrac{2}{3}AB$，所以 $BE=\dfrac{1}{3}AB$．因为在正 $\triangle ABC$ 中，$AD=\dfrac{1}{3}AC$，所以 $AD=BE$．又因为 $AB=BC$，$\angle BAD=\angle CBE$，所以 $\triangle BAD\cong\triangle CBE$，所以 $\angle ADB=\angle BEC$，即 $\angle ADF+\angle AEF=\pi$，所以 $A,E,F,D$ 四点共圆． 备注1 问题2 若正 $\triangle ABC$ 的边长为 $2$，求 $A,E,F,D$ 所在的圆的半径． 答案2 $\dfrac{2}{3}$ 解析2 如图，取 $AE$ 的中点 $G$，连接 $GD$，则 $AG=GE=\dfrac{1}{2}AE$．因为 $AE=\dfrac{2}{3}AB$，所以\[AG=GE=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{2}{3},\]因为 $AD=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{2}{3}$，$\angle DAE=60^{\circ}$，所以 $\triangle AGD$ 为正三角形，所以 $GD=AG=AD=\dfrac{2}{3}$，即 $GA=GE=GD=\dfrac{2}{3}$，所以点 $G$ 是 $\triangle AED$ 外接圆的圆心，且圆 $G$ 的半径为 $\dfrac{2}{3}$．<br/>由于 $A,E,F,D$ 四点共圆，即 $A,E,F,D$ 四点共圆 $G$，其半径为 $\dfrac{2}{3}$． 备注2