已知抛物线 $C:y^2=3x$ 的焦点为 $F$，斜率为 $\dfrac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A,B$，与 $x$ 轴的交点为 $P$．
（1）若 $|AF|+|BF|=4$，求 $l$ 的方程；
（2）若 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，求 $|AB|$．
（1）若 $|AF|+|BF|=4$，求 $l$ 的方程；
（2）若 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，求 $|AB|$．
【难度】
【出处】
2019年高考全国I卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
设直线 $l:y=\dfrac{3}{2}x+t,A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$．
（1）由题设得 $F\left(\dfrac{3}{4},0\right)$，故 $|AF|+|BF|=x_1+x_2+\dfrac{3}{2}$，由题设可得 $x_1+x_2=\dfrac{5}{2}$．
由 $\begin{cases}y=\dfrac{3}{2}x+t\\y^2=3x\end{cases}$，可得 $9x^2+12(t-1)x+4t^2=0$，则 $x_1+x_2=-\dfrac{12(t-1)}{9}$．
从而 $-\dfrac{12(t-1)}{9}=\dfrac{5}{2}$，得 $t=-\dfrac{7}{8}$．
所以 $l$ 的方程为 $y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{7}{8}$．
（2）由 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$ 可得 $y_1=-3y_2$．
由 $\begin{cases}y=\dfrac{3}{2}x+t\\y^2=3x\end{cases}$，可得 $y^2-2y+2t=0$．
所以 $y_1+y_2=2$．从而 $-3y_2+y_2=2$，故 $y_2=-1,y_1=3$．
代入 $C$ 的方程得 $x_1=3,x_2=\dfrac{1}{3}$．
故 $|AB|=\dfrac{4\sqrt{13}}{3}$．
（1）由题设得 $F\left(\dfrac{3}{4},0\right)$，故 $|AF|+|BF|=x_1+x_2+\dfrac{3}{2}$，由题设可得 $x_1+x_2=\dfrac{5}{2}$．
由 $\begin{cases}y=\dfrac{3}{2}x+t\\y^2=3x\end{cases}$，可得 $9x^2+12(t-1)x+4t^2=0$，则 $x_1+x_2=-\dfrac{12(t-1)}{9}$．
从而 $-\dfrac{12(t-1)}{9}=\dfrac{5}{2}$，得 $t=-\dfrac{7}{8}$．
所以 $l$ 的方程为 $y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{7}{8}$．
（2）由 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$ 可得 $y_1=-3y_2$．
由 $\begin{cases}y=\dfrac{3}{2}x+t\\y^2=3x\end{cases}$，可得 $y^2-2y+2t=0$．
所以 $y_1+y_2=2$．从而 $-3y_2+y_2=2$，故 $y_2=-1,y_1=3$．
代入 $C$ 的方程得 $x_1=3,x_2=\dfrac{1}{3}$．
故 $|AB|=\dfrac{4\sqrt{13}}{3}$．
答案
解析
备注
