在极坐标系中，已知两点 $A\left(3,\dfrac{\pi}{4}\right),B\left(\sqrt{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，直线 $l$ 的方程为 $\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=3$．
（1）求 $A,B$ 两点间的距离；（2）求点 $B$ 到直线 $l$ 的距离．
（1）求 $A,B$ 两点间的距离；（2）求点 $B$ 到直线 $l$ 的距离．
【难度】
【出处】
2019年高考江苏卷
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设极点为 $O$．在 $\triangle OAB$ 中，$A\left(3,\dfrac{\pi}{4}\right),B\left(\sqrt{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，
由余弦定理，得 $AB=\sqrt{3^2+(\sqrt{2})^2-2\times 3\times \sqrt{2}\times \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)}=\sqrt{5}$．
（2）因为直线 $l$ 的方程为 $\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=3$，
则直线 $l$ 过点 $\left(3\sqrt{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，倾斜角为 $\dfrac{3\pi}{4}$．
又 $B\left(\sqrt{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $(3\sqrt{2}-\sqrt{2})\times \sin \left(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}\right)$．
由余弦定理，得 $AB=\sqrt{3^2+(\sqrt{2})^2-2\times 3\times \sqrt{2}\times \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)}=\sqrt{5}$．
（2）因为直线 $l$ 的方程为 $\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=3$，
则直线 $l$ 过点 $\left(3\sqrt{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，倾斜角为 $\dfrac{3\pi}{4}$．
又 $B\left(\sqrt{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $(3\sqrt{2}-\sqrt{2})\times \sin \left(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}\right)$．
答案
解析
备注
