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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26966 591267d4e020e700094b0a8f 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\dfrac{{{a^3} + 2a}}{{{a^4} + 3{a^2} + 1}}$ 为最简分式． 2022-04-17 20:52:59
21083 5c6a748a210b281db9f4c801 高中 解答题 自招竞赛 计算：$\sqrt{\left( 31 \right)\left( 30 \right)\left( 29 \right)\left( 28 \right)+1}$． 2022-04-17 20:43:05
20904 5c6f9673210b280150527464 高中 解答题 自招竞赛 如果把一个十进制数 $N$ 写成七进制，再用十进制读出来，其结果是 $N$ 的2倍，就把 $N$ 叫做7-10双倍数．例如，51是7-10双倍数，因为它写成七进制时为102，在十进制下读出来的结果恰为 $51$ 的2倍．求最大的7-10双倍数． 2022-04-17 20:05:04
20781 5c74ea9c210b284290fc23ec 高中 解答题 自招竞赛 设 $P\left( x \right)$ 是整系数多项式，满足 $P\left( 17 \right)=10$，$P\left( 24 \right)=17$ 。若方程 $P\left( n \right)=n+3$ 有两个不同的整数解 ${{n}_{1}}$，${{n}_{2}}$，试求 ${{n}_{1}}{{n}_{2}}$ 。 2022-04-17 20:57:02
20714 5c761abb210b28428f14cda2 高中 解答题 自招竞赛 设 $p\left( x ,y \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}y+{{a}_{3}}{{x}^{2}}+{{a}_{4}}x{{y}^{2}}+{{a}_{5}}{{x}^{2}}+{{a}_{6}}{{x}^{3}}+{{a}_{7}}{{x}^{2}}y+{{a}_{8}}x{{y}^{2}}+{{a}_{9}}{{y}^{3}}$ 满足 $p\left( 0, 0 \right)$ $=p\left( 1 ,0 \right)=p\left( -1 ,0 \right)=p\left( 0 ,1 \right)=p\left( 0, -1 \right)=p\left( 1 ,1 \right)=p\left( 1 ,-1 \right)=p\left( 2 ,2 \right)=0$．存在点 $\left( \frac{a}{c}, \frac{b}{c} \right)$ 使得对所有满足上面性质的多项式 $p$ 都有 $p\left( \frac{a}{c} ,\frac{b}{c} \right)=0$，其中是正整数，且 $a$ 与 $c$ 互素，$c1$．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:20:02
20460 5c987bb2210b280b2397e890 高中 解答题 自招竞赛 非零多项式 $P\left( x \right)$ 满足对任意实数 $x$，$\left( x-1 \right)P\left( x+1 \right)\text{=}\left( x+2 \right)P\left( x \right)$ 且 ${{\left( P\left( 2 \right) \right)}^{2}}\text{=}P\left( 3 \right)$ 。那么 $P\left( \frac{7}{2} \right)=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:01:00
15678 590c250f857b4200092b065c 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\displaystyle \dfrac{{\prod\limits_{k = 1}^{2m} {\left( {1 - {x^k}} \right)} \cdot \prod\limits_{k = 1}^{2n} {\left( {1 - {x^k}} \right)} }}{{\prod\limits_{k = 1}^m {\left( {1 - {x^k}} \right)} \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 - {x^k}} \right) \cdot \prod\limits_{k = 1}^{m + n} {\left( {1 - {x^k}} \right)} } }}$ 为关于 $x$ 的整系数多项式． 2022-04-17 19:56:15
15250 5c6a5eff210b281db9f4c7ee 高中 解答题 自招竞赛 如果 $a$，$b$ 是整数，且 ${{x}^{2}}-x-1$ 是 $a{{x}^{17}}+b{{x}^{16}}+1$ 的因式．试求 $a$ 的值． 2022-04-17 19:00:12
15248 5c6a74b6210b281db9f4c81e 高中 解答题 自招竞赛 1960年三位美国数学家证明存在一个正整数 $n$，使得 ${{133}^{5}}+{{110}^{5}}+{{84}^{5}}+{{27}^{5}}={{n}^{5}}$，推翻了欧拉的一个猜想，求 $n$ 的值． 2022-04-17 19:59:11
15228 5c74aba2210b28428f14cb34 高中 解答题 自招竞赛 给定多项式 $P\left( x \right)={{x}^{6}}-{{x}^{5}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x$，$Q\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-1$，设 ${{z}_{1}} {{z}_{2}} {{z}_{3}} {{z}_{4}}$ 为 $Q\left( x \right)=0$ 的根，求 $P\left( {{z}_{1}} \right)+P\left( {{z}_{2}} \right)+P\left( {{z}_{3}} \right)+P\left( {{z}_{4}} \right)$． 2022-04-17 19:48:11
15034 5f265b7e210b2865a678862c 高中 解答题 自招竞赛 若 $f\left(x\right)=x^5+px+q$ 有有理根，且正整数 $p,q$ 不大于 $100$，则满足条件的 $\left(p,q\right)$ 共有几组？ 2022-04-17 19:58:09
12115 600a36c4ba458b0009a55d8c 高中 填空题 自招竞赛 已知多项式 $P(x)$ 的次数不超过 $3$，且所有系数都取自集合 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$．则由 个这样的多项式满足 $P(-1)=9$（用数字作答）． 2022-04-16 22:09:37
10646 59126fc0e020e70007fbec56 高中 填空题 自招竞赛 ${x^2} + ax + b$ 和 ${x^2} + bx + c$ 的最大公约数为 $x + 1$，最小公倍数为$${x^3} + \left( {c - 1} \right){x^2} + \left( {b + 3} \right)x + d,$$则 $a = $  ，$b = $  ，$c = $  ，$d = $  ． 2022-04-16 22:17:20
2150 5cc6ab0d210b280220ed26d1 高中 选择题 自招竞赛 设多项式 $f(x)=x^{12}-x^6+1$ 除以 $x^2+1$ 的商式为 $q(x)$，余式 $r(x)=ax+b$，其中 $a,b$ 为实数，则 $b$ 的值为 \((\qquad)\) ． 2022-04-15 20:10:13
2133 5cd0f0c9210b280220ed298d 高中 选择题 自招竞赛 我国南宋时期的数学家秦九韶（约 $1202$ - $1261$），在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图，给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的 $n=5,v=1,x=2$，则程序框图计算的是 \((\qquad)\) ． 2022-04-15 20:59:12
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