已知多项式 $P(x)$ 的次数不超过 $3$，且所有系数都取自集合 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$．则由 个这样的多项式满足 $P(-1)=9$（用数字作答）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(4)
【标注】
【答案】
$220$
【解析】
设 $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，则 $P(-1)=9$ 等价于$$9=b+d-a-c.$$令 $b=9-b', d=9-d'$，得$$9=a+c+b'+d'.$$注意到 $a,c,b',d'\in \{0,1,\ldots,9\}$，故所求多项式 $P(x)$ 的个数等于方程 ① 的非负整数解的个数，即 $C_{12}^3=220$．
题目
答案
解析
备注
