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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27375 590ac1166cddca000a08198b 高中 解答题 高考真题 已知 $\{a_n\}$ 为递增数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1>1$，且 $10S_n=\left(2a_n+1\right)\left(a_n+2\right)$，$n\in\mathbb N^*$． 2022-04-17 21:36:03
26891 59128a3be020e70007fbeda2 高中 解答题 自招竞赛 对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$：$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots $ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个，是否存在整数 $r,s,t$，使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）． 2022-04-17 20:11:59
26338 592e2c3deab1df0007bb8cc7 高中 解答题 高中习题 若数列 $\{a_n\},(n\in\mathbb N^*)$ 满足：
① $a_n\geqslant0$；
② $a_n-2a_{n+1}+a_{n+2}\geqslant0$；
③ $a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant1$．
则称数列 $\{a_n\}$ 是“和谐”数列．		 2022-04-17 20:03:54
26229 5962e2453cafba000ac43da5 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+\sqrt{3a_n^2+1}$，$n\geqslant 1$． 2022-04-17 20:05:53
26015 5985d6c15ed01a0009849433 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=a+2$（$a\geqslant 2$），$a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{a_n+a}{2}}$（$n\in\mathbb N^*$）． 2022-04-17 20:12:51
26012 597ec158d05b90000addb3d5 高中 解答题 高中习题 设 ${x_1}>0$，${x_{n+1}}=\dfrac{{3\left( {1+{x_n}} \right)}}{{3+{x_n}}}$，$n=1 , 2 , 3 , \cdots $，判断数列 $\{x_n\}$ 的单调性． 2022-04-17 20:11:51
25491 592e269ceab1df0007bb8cb9 高中 解答题 高考真题 实数列 $a_0,a_1,a_2,a_3,\cdots$，由下述等式定义 ${a_{n + 1}} = {2^n} - 3{a_n}$，$n=0,1,2,\cdots$． 2022-04-17 20:28:46
25345 590fdf10857b420007d3e5c3 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_1} \ne 0$，$v{S_{n + 1}} - u{S_n} = {a_1}v$，其中 $u$，$v$ 是正整数，且 $u > v$，$n \in {{\mathbb {N}}^ * }$． 2022-04-17 20:01:45
25242 5927cf8250ce840007247a8e 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 满足 ${a_1} = 1$，点 $\left({a_n} , {a_{n + 1}}\right)$ 在直线 $y = 2x + 1$ 上． 2022-04-17 20:04:44
25227 592e2a85eab1df000ab6eba4 高中 解答题 高中习题 对 $n\in\mathbb N^*$，定义函数 $f_n(x)=-(x-n)^2+n,n-1\leqslant x\leqslant n$． 2022-04-17 20:53:43
24346 591285f7e020e7000878f8df 高中 解答题 自招竞赛 已知各项为正数的数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$ 满足 ${S_n} > 1$，且$$6{S_n} = \left( {{a_n} + 1} \right)\left( {{a_n} + 2} \right) , n \in {{\mathbb{N}}^ * },$$求 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式． 2022-04-17 20:52:35
24342 59128c8fe020e7000a798bc4 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足：$\dfrac{1}{{{a_1}}} + \dfrac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_n}}} = \dfrac{1}{{{a_1}}} \cdot \dfrac{1}{{{a_2}}} \cdots \dfrac{1}{{{a_n}}}$． 2022-04-17 20:51:35
23958 59084cd1060a05000bf2921a 高中 解答题 高中习题 数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 满足：$\begin{cases} b_n=a_n-a_{n+2},\\ c_n=a_n+2a_{n+1}+3a_{n+2}.\end{cases}$ 若数列 $\left\{c_n\right\}$ 为等差数列，且 $b_n\leqslant b_{n+1}$（$n=1,2,3,\cdots$），求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列． 2022-04-17 20:18:32
23897 59117600e020e7000878f624 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n>1$，$a_1=2$，$a_{n+1}^2-a_{n+1}-a_n^2+1=0$． 2022-04-17 20:45:31
23801 590acdbe6cddca00078f3980 高中 解答题 高考真题 设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots $ 中的每一项均不为 $0$，求证：$\{a_n\}$ 是等差数列的充分必要条件是对任意自然数 $n$，均有 $\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac 1{a_2a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{n}{a_1a_{n+1}}$． 2022-04-17 20:56:30
23799 590ad3466cddca00092f7034 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，$a_5=6$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=3$，$b_{n+1}=b_1b_2\cdots b_n+1$． 2022-04-17 20:55:30
23706 59b62305b04965000728305f 高中 解答题 高中习题 若数列 $\{a_n\}$ 中，定义集合$$A_m=\{a_k \mid |k-m|\leqslant 1,k\in\mathbb N^*\},$$其中 $m\in\mathbb N^*$，若数列中项 $a_m$ 是集合 $A_m$ 中的最大数，称 $m$ 是数列 $\{a_n\}$ 的一个极大值点．求证：在二项式 $\left(x^p+rx^q\right)^m$（$m\in\mathbb N^*$，且 $r>0$）的展开式的系数构成的数列中不可能存在不相邻的两个极大值点． 2022-04-17 20:04:30
23125 590a8fb36cddca00078f3840 高中 解答题 高中习题 设 $a_1=0$，$2a_{n+1}=3a_n+\sqrt{5a_n^2+4}$．求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 中不存在能被 $2016$ 整除的偶数项． 2022-04-17 20:40:24
22503 59277f1a74a309000997fbdf 高中 解答题 高考真题 如图 $P(a_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，$\cdots $，$P_n(x_n,y_n)$，（$0<y_1<y_2<\cdots <y_n,n\in {\mathbb{N^+}}$）是曲线 $C$：$y^2=3x(y\geqslant 0)$ 上的 $n$ 个点，点 $A_i(a_i,0)$（$i=1,2,\cdots ,n$）在 $x$ 轴的正半轴上，$\triangle{A_{i-1}A_iP_i}$ 是正三角形（$A_0$ 是坐标原点）． 2022-04-17 20:49:18
22148 5927903074a309000813f689 高中 解答题 高考真题 设 $M$ 为部分正整数组成的集合，数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的首项 ${a_1} = 1$，前 $n$ 项和为 ${S_n}$，已知对任意整数 $k \in M$，当整数 $n > k$ 时，${S_{n + k}} + {S_{n - k}} = 2\left({S_n} + {S_k}\right)$ 都成立． 2022-04-17 20:30:15
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