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设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots $ 中的每一项均不为 $0$，求证：$\{a_n\}$ 是等差数列的充分必要条件是对任意自然数 $n$，均有 $\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac 1{a_2a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{n}{a_1a_{n+1}}$．
【难度】
【出处】
2010年高考安徽卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等差数列及其性质
    >
    等差数列的定义与通项
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列的差分
【答案】
略
【解析】
必要性若 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，则$$\dfrac{1}{a_ka_{k+1}}=\dfrac 1d\cdot \dfrac{a_{k+1}-a_k}{a_ka_{k+1}}=-\dfrac 1d\left(\dfrac{1}{a_{k+1}}-\dfrac{1}{a_k}\right),$$所以$$\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=-\dfrac 1d\left(\dfrac 1{a_{n+1}}-\dfrac 1{a_1}\right)=\dfrac{n}{a_1a_{n+1}}.$$充分性根据题意，有$$\begin{cases} \dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{n}{a_1a_{n+1}},\\ \dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_na_{n+1}}+\dfrac{1}{a_{n+1}a_{n+2}}=\dfrac{n+1}{a_1a_{n+2}},\end{cases}$$两式相减，得$$\dfrac{1}{a_{n+1}a_{n+2}}=\dfrac{n+1}{a_1a_{n+2}}-\dfrac{n}{a_1a_{n+1}},$$即$$a_1=(n+1)a_{n+1}-na_{n+2},$$（也可以再写一项 $a_1=na_n-(n-1)a_{n+1}$，两式相减得到 $2a_{n+1}-a_{n+2}-a_n=0$）也即$$\dfrac{a_{n+1}-a_1}{n}=\dfrac{a_{n+2}-a_1}{n+1},$$依次类推，有$$\dfrac{a_{n+2}-a_1}{n+1}=\dfrac{a_{n+1}-a_1}{n}=\dfrac{a_n-a_1}{n-1}=\cdots =\dfrac{a_2-a_1}{1},$$于是$$a_{n+1}=n(a_2-a_1)+a_1,$$因此数列 $\{a_n\}$ 是等差数列．
综上所述，原命题得证．
答案 解析 备注
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