若数列 $\{a_n\}$ 中，定义集合$$A_m=\{a_k \mid |k-m|\leqslant 1,k\in\mathbb N^*\},$$其中 $m\in\mathbb N^*$，若数列中项 $a_m$ 是集合 $A_m$ 中的最大数，称 $m$ 是数列 $\{a_n\}$ 的一个极大值点．求证：在二项式 $\left(x^p+rx^q\right)^m$（$m\in\mathbb N^*$，且 $r>0$）的展开式的系数构成的数列中不可能存在不相邻的两个极大值点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，记系数构成的数列为\[a_n={\rm C}_m^nr^n,\]有\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{{\rm C}_m^{n+1}r^{n+1}}{{\rm C}_m^{n}r^n}=\dfrac{m-n}{n+1}\cdot r,\]记\[\varphi(x)=\dfrac{m-x}{x+1}\cdot r,\]则函数 $\varphi(x)$ 单调递减，于是 $\varphi(x)=1$ 至多只有一个实数解 $x_0$，因此数列 $\{a_n\}$ 至多有两个极大值点 $[x_0],[x_0]+1$，命题得证．
答案
解析
备注
