题目 对 $n\in\mathbb N^*$，定义函数 $f_n(x)=-(x-n)^2+n,n-1\leqslant x\leqslant n$． 问题1 求证：$y=f_n(x)$ 图象的右端点与 $y=f_{n+1}(x)$ 图象的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上； 答案1 $y=x$ 解析1 $y=f_n(x)$ 图象的右端点纵坐标为$$f_n(n)=n,$$所以 $y=f_n(x)$ 图象的右端点为 $(n,n)$．<br/>$y=f_{n+1}(x)$ 图象的左端点纵坐标为$$f_{n+1}(n)=n,$$所以 $y=f_{n+1}(x)$ 图象的左端点为 $(n,n)$．<br/>因此 $y=f_n(x)$ 图象的右端点与 $y=f_{n+1}(x)$ 图象的左端点重合，且在直线 $y=x$ 上． 备注1 问题2 若直线 $y=k_nx$ 与函数 $f_n(x)=-(x-n)^2+n,n-1\leqslant x\leqslant n$，（$n\geqslant2,n\in\mathbb N^*$）的图象有且仅有一个公共点，试将 $k_n$ 表示成 $n$ 的函数； 答案2 $k_n=2n-2\sqrt{n^2-n}$ 解析2 根据题意，若 $y=k_nx$ 与 $f_n(x)$ 的图象仅有一个交点，则必有 $y=k_nx$ 与 $f_n(x)$ 的图象在区间 $[n-1,n]$ 上相切，故$$-x^2+2nx+n-n^2=k_nx$$的判别式 $\Delta=0$，且对称轴在 $[n-1,n]$ 上，由$$\Delta=(k_n-2n)62-4(n^2-n)=0,$$所以 $k_n=2n-2\sqrt{n^2-n}$． 备注2 问题3 对 $n\in\mathbb N^*,n\geqslant2$，在区间 $[0,n]$ 上定义函数 $y=f(x)$，使得当 $m-1\leqslant x\leqslant m(m\in\mathbb N^*,1\leqslant m\leqslant n)$ 时，$f(x)=f_m(x)$．试研究关于 $x$ 的方程 $f(x)=k_nx(0\leqslant x\leqslant n,n\in\mathbb N^*)$ 的实数解的个数（这里的 $k_n$ 是 $(2)$ 中的 $k_n$），并证明你的结论． 答案3 $2n-1$，其中，$n\geqslant2,n\in\mathbb N^*$ 解析3 由题可知$$\begin{split}\Delta k_n&=k_{n+1}-k_n\\ &=2-2\sqrt{n^2+n}+2\sqrt{n^2-n}\\ &=2-2\cdot\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}},\end{split}$$因为根据均值不等式，$$\dfrac{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}{2}<\sqrt{\dfrac{2n^2}{2}}=n,$$所以$$\Delta k_n<0,$$于是关于 $x$ 的方程 $f(x)=k_nx$ 有$$2(n-1)+1=2n-1$$个根，其中 $n\geqslant2,n\in\mathbb N^*$． 备注3