设 $a_1=0$，$2a_{n+1}=3a_n+\sqrt{5a_n^2+4}$．求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 中不存在能被 $2016$ 整除的偶数项．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题中条件整理得$$a_{n+1}^2-3a_na_{n+1}+a_n^2-1=0,$$差分后可得$$\left(a_{n+1}-a_{n-1}\right)\left(a_{n-1}+a_{n+1}-3a_n\right)=0,$$于是$$a_{n-1}+a_{n+1}=3a_n.$$于是由 $a_2=1$ 可知所有偶数项均不能被 $3$ 整除，也就不能被 $2016$ 整除．
答案
解析
备注
