题目 已知数列 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，$a_5=6$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=3$，$b_{n+1}=b_1b_2\cdots b_n+1$． 问题1 当 $n\geqslant 2$ 时，求证：$\dfrac{b_{n+1}-1}{b_n-1}=b_n$； 答案1 略 解析1 根据题意，有$$\begin{cases} b_{n+1}-1=b_1b_2\cdots b_{n-1}b_n,\\ b_{n}-1=b_1b_2\cdots b_{n-1},\end{cases}$$两式相除，于是原命题得证． 备注1 问题2 当 $a_3>1$ 且 $a_3\in\mathbb N^*$ 时，存在任意长度的等比数列 $a_3,a_5,a_{k_1},a_{k_2},\cdots ,a_{k_n}$（$n\in\mathbb N^*$），求 $a_3$； 答案2 $a_3$ 的所有可能取值为 $2,3$ 解析2 根据题意，有$$a_{k_n}=a_3\cdot\left(\dfrac{a_5}{a_3}\right)^{n+1}=a_3\cdot\left(\dfrac 6{a_3}\right)^{n+1},$$又$$a_{k_n}=a_3+\left(k_n-3\right)\cdot\dfrac{a_5-a_3}2=a_3+\left(k_n-3\right)\cdot \dfrac{6-a_3}2,$$因此可得$$k_n-3=2\cdot\dfrac{a_3\left[1-\left(\dfrac{6}{a_3}\right)^{n+1}\right]}{a_3-6}=2\sum_{i=0}^n\left(\dfrac{6}{a_3}\right)^i.$$当 $n$ 分别取 $1$ 和 $2$ 时，有$$\begin{cases} k_1-3=2+\dfrac{12}{a_3},\\ k_2-3=2+\dfrac{12}{a_3}+\dfrac{72}{a_3^2},\end{cases}$$于是 $a_3=2$ 或 $a_3=3$．经验证，$a_3=2$ 和 $a_3=3$ 都符合题意．因此 $a_3$ 的所有可能取值为 $2,3$． 备注2 问题3 在 $(2)$ 的条件下，当 $a_3$ 取最小值时，求证：$$\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}>4\left(\dfrac{1}{a_{k_1}-1}+\dfrac{1}{a_{k_2}-1}+\cdots +\dfrac{1}{a_{k_n}-1}\right).$$ 答案3 略 解析3 根据题意，当 $n\geqslant 2$ 时有\[\begin{split} LHS&=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{b_i}=\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{1}{b_i-1}-\dfrac{1}{b_{i+1}-1}\right)\\<br/>&=\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\dfrac 1{b_3-1}-\dfrac{1}{b_{n+1}-1}\\<br/>&=\dfrac 23-\dfrac{1}{b_1b_2\cdots b_n}\geqslant \dfrac 23-\dfrac{1}{3^n}\geqslant \dfrac 59.\end{split}\]另一方面，由于 $a_3=2$，于是$$RHS=\sum_{i=1}^n\dfrac{4}{2\cdot 3^{i+1}-1}<\dfrac {\frac 4{17}}{1-\frac 13}=\dfrac 6{17}<\dfrac 59.$$因此原命题得证． 备注3 每日一题[704]数列“一锅鲜”．