数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 满足：$\begin{cases} b_n=a_n-a_{n+2},\\ c_n=a_n+2a_{n+1}+3a_{n+2}.\end{cases}$ 若数列 $\left\{c_n\right\}$ 为等差数列，且 $b_n\leqslant b_{n+1}$（$n=1,2,3,\cdots$），求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有$$c_n-c_{n+2}=b_n+2b_{n+1}+3b_{n+2},$$又数列 $\left\{c_n\right\}$ 为等差数列，因此$$c_n-c_{n+2}=c_{n+1}-c_{n+3},$$于是$$b_n+2b_{n+1}+3b_{n+2}=b_{n+1}+2b_{n+2}+3b_{n+3},$$即$$\left(b_n-b_{n+1}\right)+2\left(b_{n+1}-b_{n+2}\right)+3\left(b_{n+2}-b_{n+3}\right)=0,$$结合 $b_n\leqslant b_{n+1}$（$n=1,2,3,\cdots$）可得 $\left\{b_n\right\}$ 为常数列．
不妨设 $b_n=-2d$，于是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的奇数项和偶数项分别构成以 $2d$ 为公差的等差数列，因此只需要证明 $a_2-a_1=d$ 即可．根据题意，有$$\begin{cases} c_1=a_1+2a_2+3a_3=4a_1+2a_2+6d,\\c_2=a_2+2a_3+3a_4=2a_1+4a_2+10d,\\c_3=a_3+2a_4+3a_5=4a_1+2a_2+18d,\end{cases}$$而$$2c_2=c_1+c_3,$$于是不难得到$$a_2-a_1=d,$$因此数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列．
不妨设 $b_n=-2d$，于是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的奇数项和偶数项分别构成以 $2d$ 为公差的等差数列，因此只需要证明 $a_2-a_1=d$ 即可．根据题意，有$$\begin{cases} c_1=a_1+2a_2+3a_3=4a_1+2a_2+6d,\\c_2=a_2+2a_3+3a_4=2a_1+4a_2+10d,\\c_3=a_3+2a_4+3a_5=4a_1+2a_2+18d,\end{cases}$$而$$2c_2=c_1+c_3,$$于是不难得到$$a_2-a_1=d,$$因此数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列．
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备注
