题目 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n>1$，$a_1=2$，$a_{n+1}^2-a_{n+1}-a_n^2+1=0$． 问题1 求证：$\dfrac{n+7}4\leqslant a_n<a_{n+1}\leqslant n+2$； 答案1 略 解析1 观察第 $(1)$ 小题，可知该不等式的本质就是对数列 $\{a_n\}$ 增长速度 $a_{n+1}-a_n$ 的估计，因此考虑研究数列的差分．<br/>根据题意，有$$a_{n+1}=\dfrac{1+\sqrt{1-4(1-a_n^2)}}{2}=\dfrac 12+\sqrt{a_n^2-\dfrac 34},$$由于当 $a_n>1$ 时，有 $a_n^2-\dfrac 34>\left(a_n-\dfrac 12\right)^2$，于是 $a_{n+1}>a_n$，也即 $\{a_n\}$ 单调递增．<br/>考虑$$a_{n+1}-a_n=\dfrac 12+\sqrt{a_n^2-\dfrac 34}-a_n=\dfrac 12-\dfrac 34\cdot \dfrac{1}{\sqrt{a_n^2-\dfrac 34}+a_n},$$于是$$\dfrac 27<a_2-a_1\leqslant a_{n+1}-a_n<\dfrac 12,$$进而可得$$\dfrac{2n+12}7\leqslant a_n<a_{n+1}\leqslant \dfrac{n+4}2,$$这实际上是一个比题中不等式更强的不等式，因此命题得证． 备注1 问题2 求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2a_k^2-3}<1$． 答案2 略 解析2 利用 $(1)$ 左边的不等式，可得$$(2a_{n+1}^2-3)-(2a_n^2-3)=2a_{n+1}-2>\dfrac {n+4}2,$$因此当 $n\geqslant 2$ 时，有$$2a_n^2-3>5+\dfrac 52+\dfrac 62+\cdots +\dfrac{n+3}2=\dfrac 14(n^2+7n+12),$$因此$$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2a_k^2-3}\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{4}{(k+3)(k+4)}=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac 4{k+3}-\dfrac 4{k+4}\right)<1,$$原命题得证． 备注2 每日一题[529]数列的界的估计．