已知各项为正数的数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$ 满足 ${S_n} > 1$，且$$6{S_n} = \left( {{a_n} + 1} \right)\left( {{a_n} + 2} \right) , n \in {{\mathbb{N}}^ * },$$求 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2008年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
${a_n} = 3n - 1$
【解析】
根据题意$$6{S_n} = \left( {{a_n} + 1} \right)\left( {{a_n} + 2} \right),$$所以$$6{S_{n + 1}} = \left( {{a_{n + 1}} + 1} \right)\left( {{a_{n + 1}} + 2} \right),$$上述两式相减，得$$6{a_{n + 1}} = {a_{n + 1}}^2 - {a_n}^2 + 3\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right),$$即$${a_{n + 1}} = {a_n} + 3,$$由$$6{a_1} = \left( {{a_1} + 1} \right)\left( {{a_1} + 2} \right),$$得 ${a_1} = 2$，于是 ${a_n} = 3n - 1$．
答案
解析
备注
