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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20712 5c761ac7210b28428f14cda8 高中 解答题 自招竞赛 正方形纸片的边长为100，在其每个角上按如下方式剪下一个楔形：距离正方形顶点 $\sqrt{17}$ 处入刀下剪，使得两刀口在正方形的对角线处相交 $60{}^\circ $ 角（图26-1），接着把这个顶点处的两条切口折起并用胶粘在一起，这样这张纸就做成一个纸盘，这个纸盘的侧面和底面所成的角不是直角．这个纸盘的高度（即纸盘最高处到纸盘底面的垂直距离）可以写成 $\sqrt[n]{m}$ 的形式，这里 $m$，$n$ 是正整数，$m<1000$，且 $m$ 不被任何素数的 $n$ 次方整除．求 $m+n$． 2022-04-17 20:19:02
20707 5c761ff3210b28428f14cdbe 高中 解答题 自招竞赛 在梯形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$BC=1000$，$AD=2008$，$\angle A=37{}^\circ $，$\angle D=53{}^\circ $．点 $M$ 和 $N$ 分别为边 $BC$ 和 $AD$ 的中点，求线段 $MN$ 的长度． 2022-04-17 20:16:02
20702 5c76208d210b28428f14cdd7 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=AC=100$，$BC=56$．⊙ $P$ 的半径为16，且与边 $AC$，$BC$ 相切．⊙ $Q$ 位于 $\vartriangle ABC$ 内部，且与⊙ $P$，$AB$，$BC$ 都相切．⊙ $Q$ 的半径可以写成 $m-n\sqrt{k}$ 的形式，其中 $m$，$n$，$k$ 都是正整数，且 $k$ 为一些不同素数之积，求 $m+nk$ 的值． 2022-04-17 20:12:02
20696 5c763c1b210b28428f14ce06 高中 解答题 自招竞赛 在平行四边形 $ABCD$ 中，$M$ 是边 $AB$ 上的点，且满足 $\frac{AM}{AB}=\frac{17}{1000}$，$N$ 是 $AD$ 上的点，且满足 $\frac{AN}{AD}=\frac{17}{2009}$．设 $P$ 是 $AC$ 与 $MN$ 的交点，求 $\frac{AC}{AP}$． 2022-04-17 20:09:02
20695 5c763c22210b28428f14ce0b 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AC=450$，$BC=300$，点 $K$ 是边 $AC$ 的中点，$\angle ACB$ 的平分线交边 $AB$ 于点 $L$．设 $P$ 是 $BK$ 与 $CL$ 的交点，延长 $PK$ 到 $M$，使得 $KM=PK$．若 $AM=180$，求 $LP$ 的长度． 2022-04-17 20:09:02
20689 5c763c7f210b28428f14ce35 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=10$，$BC=14$，$CA=16$．$D$ 是线段 $BC$ 上一点，${{I}_{B}}$，${{I}_{C}}$ 分别是 $\vartriangle ABD$，$\vartriangle ACD$ 的内心．$\vartriangle B{{I}_{B}}D$，$\vartriangle C{{I}_{C}}D$ 的外接圆交于两不同点 $P$，$Q$．$\vartriangle BPC$ 的面积的最大值可以表示为 $a-b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a b c$ 都是正整数且 $c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:05:02
20686 5c77426d210b284290fc258b 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 中，$AB=100$，$E$ 是 $AD$ 的中点．若 $AC\bot BE$，求小于 $AD$ 的最大整数． 2022-04-17 20:04:02
20685 5c77427b210b28428f14ce46 高中 解答题 自招竞赛 等边三角形 $T$ 内接于半径为10的圆 $A$，半径为3的圆 $B$ 与圆 $A$ 内切三角形 $T$ 的一个顶点处，半径都为2的圆 $C$ 和圆 $D$ 与圆 $A$ 内切于三角形 $T$ 的另外两个顶点处，圆 $B$、圆 $C$ 和圆 $D$ 都与半径为 $\frac{m}{n}$ 的圆 $E$ 外切，其中 $m$，$n$ 是互素的整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:03:02
20682 5c77429e210b28428f14ce5c 高中 解答题 自招竞赛 四座灯塔分别位于 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点处，灯塔 $A$ 与灯塔 $B$ 相距 $5\text{km}$ 灯塔 $B$ 与灯塔 $C$ 相距 $12\text{km}$，灯塔 $A$ 与灯塔 $C$ 相距 $13\text{km}$．对灯塔 $A$ 处的观测者而言，灯塔 $B$，$D$ 所成的夹角与灯塔 $C$，$D$ 所成的夹角相等（即 $\angle BAD=\angle CAD$）；对灯塔 $C$ 处的观测者而言，灯塔 $A$，$B$ 所成的夹角与灯塔 $D$，$B$ 所成的夹角相等（即 $\angle ACB=\angle DCB$）．若灯塔 $A$ 与灯塔 $D$ 之间的距离为 $\frac{p\sqrt{r}}{q}\text{km}$，其中 $p$，$q$ 是互素的正整数，$r$ 不被任何素数的平方整除，求 $p+q+r$． 2022-04-17 20:02:02
20678 5c7742bd210b28428f14ce77 高中 解答题 自招竞赛 设 $MN=1$ 是圆的直径，$A$，$B$ 是此圆半圆弧上的两点且 $A$ 是该半圆弧的中点，$MB=\frac{3}{5}$．点 $C$ 位于另一半圆弧上．设直径 $MN$ 与弦 $AC$，$BC$ 的交点间的线段长为 $d$．若 $d$ 这的最大值可以写为 $r-s\sqrt{t}$ 的形式，其中 $r s t$ 是正整数且 $t$ 不被任何素数的平女整除，求 $r+s+t$． 2022-04-17 20:00:02
20667 5c774ccd210b284290fc25b8 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 和以 $AB$ 为直径的半圆共面且内部不重叠。设 $R$ 为矩形和半圆所围成的区域，直线 $l$ 分别交半圆，线段 $AB$ 和线段 $CD$ 于不同的点 $N$，$U$ 和 $T$ 。直线 $l$ 将区域 $R$ 分成面积比为 $1:2$ 的两部分。若 $AU=84$，$AN=126$，$UB=168$，则 $DA$ 的长度为 $m\sqrt{n}$，其中 $m$、$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:54:01
20657 5c7769a9210b28428f14cee9 高中 解答题 自招竞赛 已知点 $G H I J L K$ 分别是正六边形 $ABCDEF$ 的边 $AB$，$BC$，$CD$，$DE$，$EF$，$FA$ 的中点。线段 $AH$，$BI$，$CJ$，$DK$，$EL$，$FG$ 围成一个小正六边形。小正六边形与大正六边形的面积之比为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:49:01
20652 5c7769c8210b284290fc2600 高中 解答题 自招竞赛 在 $\text{Rt}\vartriangle ABC$ 中，$\angle ACB={{90}^{\circ }}$，$\angle BAC{{45}^{\circ }}$，$AB=4$ 。点 $P$ 在边 $AB$ 上，使得 $\angle APC=2\angle ACP$，$CP=1$ 。 $\frac{AP}{BP}$ 可以表示成 $p+q\sqrt{r}$，其中，$p$，$q$，$r$ 是正整数，且 $r$ 不能被任何素数的平方整除。求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:45:01
20651 5c7769cd210b284290fc2605 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AC=13$，$BC=14$，$AB=15$ 。点 $M$，$D$ 在边 $AC$ 上，使得 $AM=MC$，$\angle ABD=\angle DBC$ 。点 $N$，$E$ 在边 $AB$ 上，使得 $AN=NB$，$\angle ACE=\angle ECB$ 。设 $P$ 是 $\vartriangle AMN$ 的外接圆与 $\vartriangle ADE$ 的外接圆的另一个交点。射线 $AP$ 交 $BC$ 于点 $Q$ 。 $\frac{BQ}{CQ}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数。求 $m-n$ 的值。 2022-04-17 20:45:01
20634 5c8b1b28210b286d07454103 高中 解答题 自招竞赛 对于正方形 $\square ABCD$，点 $E$ 在边 $AD$ 上，点 $F$ 在边 $BC$ 上，并且 $BE=EF=FD=30$ 。求 $\square ABCD$ 面积。 2022-04-17 20:35:01
20632 5c8b1b31210b286d125ef288 高中 解答题 自招竞赛 在 $\Delta ABC$ 中，$AB=\frac{20}{11}AC$ 。 $\angle A$ 的角平分线与 $BC$ 边交于点 $D$ 。点 $M$ 是 $AD$ 边中点。点 $P$ 是 $AC$ 与直线 $BM$ 交点。 $\frac{CP}{PA}=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:34:01
20623 5c8b1b67210b286d125ef2a2 高中 解答题 自招竞赛 点 $P$ 在正方形 $\square ABCD$ 对角线 $AC$ 上，满足 $AP>CP$ 。 ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ 分别为 $\Delta ABP,\Delta CDP$ 外接圆圆心。已知 $AB=12,\angle {{O}_{1}}P{{O}_{2}}={{120}^{\circ }}$，记 $AP=\sqrt{a}+\sqrt{b}$，其中 $a\text{,}b$ 为互质正整数。求 $a+b$ 。 2022-04-17 20:29:01
20589 5c908725210b286d0745422d 高中 解答题 自招竞赛 $E,F$ 分别在正方形 $\square ABCD$ 的边 $AB,BC$ 上。过 $E$ 平行于 $BC$ 的直线和过 $F$ 平行于 $AB$ 的直线将 $\square ABCD$ 分成两个小正方形和两个矩形。两个小正方形的面积之和为 $\square ABCD$ 面积的 $\frac{9}{10}$ 。求 $\frac{AE}{EB}+\frac{EB}{AE}$ 2022-04-17 20:14:01
20575 5c91cccf210b286d125ef444 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系中，$A\text{=}\left( 1\text{,}0 \right)\text{,}B\text{=}\left( 2\text{,}2\sqrt{3} \right)$ 。作等边 $\Delta ABC$ 使得 $C$ 落在第一象限．$P=\left( x\text{,}y \right)$ 为 $\Delta ABC$ 中心。那么 $x\cdot y$ 可以被写作 $\frac{p\sqrt{q}}{r}$，其中 $p\text{,}r$ 为互质正整数，$q$ 为没有平方因子的正整数。求 $p+q+r$ 2022-04-17 20:05:01
20572 5c91ccee210b286d125ef459 高中 解答题 自招竞赛 内接于圆的一六边形边长分别顺序依次为 $22,22,20,22,22,20$ 。其外接圆的半径可被写作 $p+\sqrt{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为正整数。求 $p+q$ 2022-04-17 20:02:01
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